En 4ème, tu vas apprendre à maîtriser une nouvelle façon d'écrire les nombres, très utile en sciences : les puissances. C'est un outil puissant pour simplifier les calculs avec des nombres très grands (comme les distances astronomiques) ou très petits (comme les bactéries).
Objectifs du chapitre
- •Comprendre ce qu'est une puissance et savoir la lire
- •Apprendre à calculer avec des puissances de 10
- •Maîtriser les règles de priorité des opérations dans un calcul complexe
11. Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance, c'est une façon abrégée d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre. Le petit nombre en haut à droite (l'exposant) te dit combien de fois tu multiplies le nombre de base par lui-même. Par exemple, 5⁴ se lit '5 puissance 4' ou '5 exposant 4'. Attention, il y a deux cas particuliers très importants : tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même (ex: 12¹ = 12). Et tout nombre (sauf 0) à la puissance 0 est égal à 1 (ex: 7⁰ = 1).
2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Ici, 2 est la base et 3 est l'exposant. 10⁵ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000.
Pour ne pas te tromper, pense à l'exposant comme au nombre de fois où tu dois écrire la base dans la multiplication.
22. Les puissances de 10, tes nouvelles meilleures amies
Les puissances de 10 sont les plus utilisées car elles correspondent à notre système de numération (base 10). Quand tu élèves 10 à une puissance n, tu obtiens un 1 suivi de n zéros. C'est super pratique pour écrire des millions, des milliards, etc. À l'inverse, 10 avec un exposant négatif donne un nombre décimal très petit : le 1 se retrouve à la n-ième position après la virgule.
10⁶ = 1 000 000 (un 1 suivi de 6 zéros, c'est un million). 10⁻³ = 0,001 (le 1 est à la 3ème position après la virgule, c'est un millième).
L'exposant positif = nombre de zéros. L'exposant négatif = nombre de chiffres après la virgule avant le 1.
33. Les règles de priorité dans un calcul
Quand un calcul mélange des puissances, des multiplications, des additions... il faut respecter un ordre bien précis pour trouver le bon résultat. C'est comme un code de la route pour les nombres ! D'abord, tu calcules les puissances. Ensuite, tu t'occupes des multiplications et des divisions, de gauche à droite. Enfin, tu termines par les additions et les soustractions, de gauche à droite. Les parenthèses sont les reines : tu dois toujours commencer par les calculs qui sont à l'intérieur.
3 + 2 × 5². Je calcule d'abord la puissance : 5² = 25. Puis la multiplication : 2 × 25 = 50. Enfin l'addition : 3 + 50 = 53. Le résultat est 53, et pas 13² !
Pense à l'acronyme 'P.P.M.D.A.S' : Parenthèses, Puissances, Multiplication/Division, Addition/Soustraction.
44. Application : écrire un nombre avec une puissance de 10
Tu peux décomposer n'importe quel nombre en un produit utilisant une puissance de 10. Cela s'appelle l'écriture scientifique, mais en 4ème, on commence par la maîtriser avec des nombres simples. Le but est de séparer la partie 'chiffre' (entre 1 et 10) de la partie 'puissance de 10' qui donne l'ordre de grandeur.
Le nombre 7 000 peut s'écrire 7 × 1 000, donc 7 × 10³. De même, 0,0045 peut s'écrire 4,5 × 0,001, donc 4,5 × 10⁻³.
Pour un grand nombre, compte les zéros pour avoir l'exposant positif. Pour un petit nombre, compte les chiffres après la virgule jusqu'au premier chiffre non nul pour avoir l'exposant négatif.