En 5ème, tu as découvert la symétrie axiale, ce jeu de miroir par rapport à une droite. Maintenant, on passe à un autre type de miroir, mais cette fois-ci autour d'un point unique ! Imagine que tu fais tourner une figure d'un demi-tour parfait autour d'un clou : tu viens de faire une symétrie centrale.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre ce qu'est un centre de symétrie et comment il agit
- •Savoir construire le symétrique d'un point, d'une figure par rapport à un point
- •Reconnaître des figures qui possèdent un centre de symétrie
11. C'est quoi, un centre de symétrie ?
Prends un point sur ta feuille, appelle-le O. C'est ton centre de symétrie. Maintenant, place un point A n'importe où. Pour trouver son symétrique par rapport à O, imagine que tu piques ta pointe de compas en O, tu la fais glisser jusqu'à A, et tu continues exactement de la même longueur de l'autre côté. Le point que tu obtiens, A', est le symétrique de A. La règle d'or ? Le point O est toujours, toujours, exactement au milieu du segment [AA']. On dit que O est le milieu de [AA']. C'est la définition la plus importante à retenir.
Sur une feuille à petits carreaux, place O au centre d'un carreau. Place A 3 carreaux à droite et 2 carreaux vers le haut de O. Pour placer A', tu vas donc faire l'inverse : 3 carreaux à gauche et 2 carreaux vers le bas de O. Tu verras que O est bien au milieu.
Pense à la règle du "même chemin de l'autre côté". Si pour aller de O à A tu avances et tu montes, alors pour aller de O à A' tu recules et tu descends de la même distance.
22. Construire le symétrique d'une figure complète
Pour construire le symétrique d'un segment, d'un triangle ou de n'importe quel dessin, la méthode est simple et toujours la même. Tu ne traces pas à l'œil ! Tu choisis plusieurs points importants de la figure (les sommets, par exemple). Pour chacun de ces points, tu construis son symétrique par rapport au centre O, comme tu as appris à le faire. Ensuite, il ne te reste plus qu'à relier ces nouveaux points dans le même ordre que la figure de départ. La figure obtenue est le symétrique de la figure initiale. Elle a exactement la même forme et les mêmes dimensions, mais elle est "retournée".
Pour faire le symétrique d'un triangle ABC par rapport à un point O, tu construis d'abord A', le symétrique de A. Puis B', le symétrique de B. Puis C', le symétrique de C. Enfin, tu traces le triangle A'B'C'. Tu obtiens un triangle identique, mais orienté dans l'autre sens.
Utilise ton compas pour reporter les distances avec précision ! Place la pointe sur O, prends l'écart jusqu'au point A, et sans changer l'écart, reporte-le de l'autre côté de O pour marquer A'. C'est plus précis que de compter les carreaux.
33. Les propriétés magiques de la symétrie centrale
La symétrie centrale a des super-pouvoirs géométriques. Elle conserve beaucoup de choses. Elle conserve les longueurs : un segment et son symétrique ont la même longueur. Elle conserve l'alignement : si trois points sont alignés, leurs symétriques seront aussi alignés. Elle conserve les angles : un angle et son symétrique ont la même mesure. Elle conserve les aires. En résumé, la figure et son symétrique sont des copies parfaites, juste positionnées différemment. C'est une transformation isométrique.
Si tu as un segment [AB] de 5 cm, son symétrique [A'B'] mesurera aussi exactement 5 cm. Si tu as un angle droit en B, alors l'angle en B' sera aussi un angle droit.
Le mot "conserve" est le mot-clé. À chaque fois que tu fais une symétrie centrale, pense : "Est-ce que cette chose (longueur, angle...) est conservée ?" La réponse est presque toujours oui !
44. Reconnaître les figures avec un centre de symétrie
Certaines figures sont spéciales : elles coïncident avec leur propre symétrique par rapport à un point bien précis. On dit qu'elles possèdent un centre de symétrie. Pour le vérifier, tu peux mentalement faire tourner la figure d'un demi-tour (180°) autour de ce point. Si elle se superpose parfaitement à elle-même, c'est gagné ! C'est un peu comme si la figure était dessinée des deux côtés d'un point central.
Le parallélogramme est la star des figures à centre de symétrie ! Le centre de symétrie d'un parallélogramme est le point où ses diagonales se coupent. Le cercle aussi en a un : son centre. Un rectangle, un carré, un losange (qui sont des parallélogrammes particuliers) en ont un aussi.
Pour un polygone, cherche le point où les diagonales se coupent. C'est souvent un bon candidat pour être le centre de symétrie. Trace-les pour voir !
55. Symétrie centrale VS symétrie axiale : le match !
Ne mélange pas ces deux symétries ! C'est normal de les confondre au début. La symétrie axiale utilise un axe, une droite-miroir. Les points sont renvoyés de l'autre côté de cette droite, perpendiculairement. La symétrie centrale utilise un point, un centre. Les points sont renvoyés de l'autre côté de ce point, en ligne droite. Dans les deux cas, les figures sont identiques, mais le "mouvement" n'est pas le même. Un bon moyen de voir la différence : plie ta feuille selon l'axe pour la symétrie axiale. Fais-la pivoter à 180° autour d'une punaise pour la symétrie centrale.
Les lettres majuscules peuvent t'aider. La lettre "A" a un axe de symétrie vertical, mais pas de centre de symétrie. La lettre "S" a un centre de symétrie (en son milieu), mais pas d'axe de symétrie.
Résume-toi : Axiale -> Droite (Axe) -> Pliage. Centrale -> Point (Centre) -> Demi-tour / Pivotement.