En 3ème, tu vas découvrir un outil mathématique puissant qui décrit des relations de proportionnalité... mais pas seulement ! Les fonctions affines sont partout : dans les tarifs de téléphone, les calculs de prix, ou encore la croissance d'une plante. Prépare-toi à passer des formules abstraites à des situations bien concrètes.
Objectifs du chapitre
- •Reconnaître et définir une fonction affine
- •Détermininer son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine
- •Représenter graphiquement une fonction affine et interpréter sa courbe
11. C'est quoi, une fonction affine ?
Une fonction affine, c'est une règle qui à un nombre x associe un nombre noté f(x). Sa particularité ? Elle s'écrit toujours sous la forme f(x) = a x + b, où a et b sont deux nombres fixés. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur. Le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine. Attention, si b = 0, la fonction devient f(x) = a x : c'est un cas particulier très important que tu connais déjà, c'est une fonction linéaire, liée à la proportionnalité !
f(x) = 2x + 3 est une fonction affine avec a = 2 et b = 3. g(x) = -0.5x - 1 est une fonction affine avec a = -0.5 et b = -1. h(x) = 4x est une fonction affine particulière (b=0), c'est une fonction linéaire.
Pour reconnaître une fonction affine, vérifie que x n'est jamais au carré, au dénominateur, ou dans une racine. Il est seul, multiplié par a, et on ajoute b.
22. Le coefficient directeur (a) : il donne le rythme !
Le coefficient directeur a est le cœur de la fonction. Il te dit comment évolue f(x) quand x augmente de 1. Si a est positif, la fonction est croissante : la droite 'monte'. Si a est négatif, la fonction est décroissante : la droite 'descend'. Plus la valeur absolue de a est grande (qu'il soit positif ou négatif), plus la droite est 'penchée', c'est-à-dire raide.
Pour f(x)=2x+3, si x augmente de 1, f(x) augmente de 2. Pour g(x)=-0.5x-1, si x augmente de 1, f(x) diminue de 0,5. La première droite monte vite, la seconde descend doucement.
Pense au coefficient directeur comme à une pente de montagne. a = 0 ? C'est une pente nulle, une ligne horizontale ! C'est le cas des fonctions constantes (f(x)=b).
33. L'ordonnée à l'origine (b) : le point de départ sur l'axe
Le nombre b a un rôle très visuel. C'est l'ordonnée (la hauteur) du point où la droite représentative de la fonction coupe l'axe des ordonnées. Autrement dit, c'est la valeur de la fonction quand x vaut 0. Graphiquement, c'est le 'point d'amarrage' de ta droite sur l'axe vertical.
Pour f(x)=2x+3, l'ordonnée à l'origine est 3. Ta droite coupera l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3). Pour g(x)=-0.5x-1, elle le coupe en (0 ; -1).
Pour trouver b rapidement dans l'expression, regarde le nombre tout seul, sans x. C'est lui !
44. Représentation graphique : toujours une droite !
La représentation graphique d'une fonction affine est TOUJOURS une droite. C'est pour ça qu'on l'appelle aussi 'fonction linéaire affine'. Pour la tracer, tu n'as besoin que de deux points. Le plus simple est souvent de prendre : 1) Le point sur l'axe des ordonnées (0 ; b) grâce à l'ordonnée à l'origine. 2) Un autre point facile à calculer, par exemple pour x=1, tu obtiens f(1)=a*1+b = a+b. Tu places ces deux points et tu traces la droite qui passe par eux.
Pour tracer f(x)=2x+3. Point 1 : (0 ; 3). Point 2 : si x=1, f(1)=2*1+3=5, donc (1 ; 5). Je place (0,3) et (1,5), je trace la droite.
Vérifie toujours ton tracé avec le signe de a. Ici a=2 (positif), ma droite doit bien monter de gauche à droite. Si elle descend, c'est qu'il y a une erreur de calcul ou de placement.
55. Application : modéliser un problème concret
C'est là que les fonctions affines deviennent géniales. Imagine un forfait mobile à 10€ par mois, plus 0.20€ par SMS envoyé. Le prix total P en fonction du nombre n de SMS est une fonction affine ! Le coefficient directeur, c'est le prix d'une unité (0,20 €/SMS). L'ordonnée à l'origine, c'est l'abonnement fixe (10 €). Tu peux écrire P(n) = 0,20n + 10. Avec ça, tu peux calculer n'importe quel prix et même tracer la droite pour visualiser l'évolution des coûts.
Avec P(n) = 0,20n + 10. Pour 15 SMS : P(15) = 0,20*15 + 10 = 3 + 10 = 13€. L'ordonnée à l'origine b=10 signifie que même avec 0 SMS, tu paies 10€ (l'abonnement).
Dans un problème, identifie ce qui est fixe (c'est b) et ce qui varie à l'unité (c'est a). Cela te donne directement la fonction.