En 3ème, tu manipules les nombres rationnels depuis quelques années, mais cette année, on va vraiment tout clarifier et renforcer tes compétences. Ces nombres, qui s'écrivent sous forme de fractions, sont partout : en cuisine, en bricolage, dans les pourcentages. On va voir comment les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser avec aisance, et comprendre pourquoi c'est si utile.
Objectifs du chapitre
- •Maîtriser les quatre opérations avec les nombres rationnels
- •Savoir comparer et ordonner des nombres rationnels
- •Résoudre des problèmes concrets en utilisant les fractions
11. Rappel : Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel, c'est simplement un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont des nombres entiers (comme -5, 0, 7, 12...), et où b est différent de zéro. Le mot 'rationnel' vient du latin 'ratio' qui signifie 'rapport'. C'est donc le rapport de deux entiers. Attention, un même nombre rationnel a plusieurs écritures fractionnaires : 1/2, 2/4 ou 50/100 représentent la même valeur. Un nombre entier est aussi un rationnel : 3 = 3/1 = 6/2. L'ensemble de tous ces nombres se note ℚ.
3/4, -7/5, 12 (=12/1), 0,25 (=1/4) sont tous des nombres rationnels. Par contre, π (pi) ou √2 ne peuvent pas s'écrire comme une fraction d'entiers, ce ne sont PAS des rationnels.
Pour vérifier si un nombre décimal est rationnel, écris-le en fraction : 0,75 = 75/100 = 3/4. C'est bon !
22. Additionner et soustraire des fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions, il est INDISPENSABLE qu'elles aient le même dénominateur. C'est comme si tu voulais ajouter des quarts de gâteau et des tiers de gâteau : il faut découper toutes les parts en parts de même taille pour pouvoir les compter. La méthode est donc : 1) Tu trouves un dénominateur commun (le plus simple est souvent de multiplier les dénominateurs). 2) Tu transformes chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur commun. 3) Tu additionnes ou soustrais les numérateurs, et tu gardes le dénominateur commun. 4) N'oublie pas de simplifier le résultat si c'est possible.
Calculons 2/3 + 5/4. Dénominateur commun : 3 x 4 = 12. 2/3 = (2x4)/(3x4) = 8/12. 5/4 = (5x3)/(4x3) = 15/12. Donc 2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12. On ne peut pas simplifier 23/12.
Le dénominateur commun n'est pas forcément le produit des deux, cherche le plus petit multiple commun (PPCM) pour avoir des nombres plus simples. Pour 1/6 + 1/4, le PPCM de 6 et 4 est 12, c'est mieux que 24.
33. Multiplier et diviser des fractions
Là, c'est beaucoup plus simple ! Pour multiplier deux fractions, tu multiplies les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Avant de faire le calcul, essaie de simplifier 'en croix' si tu vois un facteur commun. Pour la division, retiens cette règle essentielle : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. L'inverse de a/b, c'est b/a (à condition que a et b ne soient pas nuls). Donc, pas de dénominateur commun ici, c'est direct !
Multiplication : (3/5) × (10/9). Je peux simplifier : 3 et 9 par 3, 5 et 10 par 5. Ça donne (1/1) × (2/3) = 2/3. Division : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = (2×5)/(3×4) = 10/12 = 5/6 après simplification.
Pour la multiplication, simplifie AVANT de multiplier, tes calculs seront plus faciles. Pour la division, la technique 'produit en croix' est une erreur ! Pense toujours 'inverse et multiplication'.
44. Comparer et ranger des nombres rationnels
Pour comparer deux nombres rationnels, tu as plusieurs techniques. Si les dénominateurs sont les mêmes, c'est facile : celui qui a le plus grand numérateur est le plus grand. Sinon, tu peux les mettre au même dénominateur positif et comparer les numérateurs. Autre méthode très pratique : les écrire sous forme décimale (en faisant la division) pour les comparer. Attention avec les nombres négatifs ! Plus un nombre négatif est 'grand' en valeur absolue, plus il est petit. -10 est plus petit que -2.
Comparons 7/4 et 11/6. Dénominateur commun : 12. 7/4 = 21/12 et 11/6 = 22/12. 21/12 < 22/12 donc 7/4 < 11/6. En décimal : 7/4 = 1,75 et 11/6 ≈ 1,833, donc même conclusion.
Quand tu mets au même dénominateur, choisis un dénominateur positif pour éviter les erreurs de signe avec les nombres négatifs.
55. Résoudre des problèmes avec des fractions
C'est le but final ! Les fractions sont des outils pour modéliser des situations. Quand tu vois 'les trois quarts de', 'le tiers de', pense multiplication. Un problème de partage, de proportion, de pourcentage (un pourcentage est une fraction sur 100) se traite avec les rationnels. La clé est de bien identifier la 'totalité' ou l'unité. N'hésite pas à faire un schéma pour t'aider à visualiser la situation.
Problème : Dans un collège de 600 élèves, 3/5 sont demi-pensionnaires. Parmi eux, 2/3 mangent à la cantine le midi. Combien d'élèves mangent à la cantine ? 1) Nombre de DP : (3/5) × 600 = (3×600)/5 = 1800/5 = 360. 2) Parmi ces 360 DP, ceux qui mangent à la cantine : (2/3) × 360 = (2×360)/3 = 720/3 = 240. Réponse : 240 élèves.
Le mot 'de' dans un énoncé se traduit très souvent par une multiplication. 'Les 2/3 de 45' = (2/3) × 45.