En 3ème, tu vas découvrir un outil magique pour résoudre des problèmes de triangles rectangles sans forcément connaître toutes les longueurs. La trigonométrie, c'est le langage qui relie les angles aux côtés. Que tu veuilles calculer la hauteur d'un arbre sans grimper ou l'hypoténuse d'un triangle, elle sera ton alliée.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre et utiliser les formules du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu.
- •Savoir calculer la mesure d'un angle à partir d'un rapport trigonométrique.
- •Résoudre des problèmes concrets de géométrie en utilisant la trigonométrie.
11. Les trois formules magiques : SOH CAH TOA
Dans un triangle rectangle, on se place toujours par rapport à un angle aigu précis, qu'on appelle l'angle de référence. Pour cet angle, on nomme les côtés : l'hypoténuse (toujours en face de l'angle droit), le côté adjacent (qui touche l'angle droit ET l'angle de référence) et le côté opposé (en face de l'angle de référence). Avec ces trois côtés, on définit trois rapports très importants qui ne dépendent que de la mesure de l'angle. Ce sont le cosinus, le sinus et la tangente. Retiens bien ce moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA. C'est la clé pour ne jamais te tromper !
Dans le triangle ABC rectangle en A, avec l'angle ABC (en B) comme angle de référence. [BC] est l'hypoténuse, [AB] est le côté adjacent à l'angle ABC, et [AC] est le côté opposé à l'angle ABC.
Dessine toujours ton triangle, colorie l'angle de référence, et écris 'O', 'A', 'H' sur les côtés correspondants. SOH CAH TOA devient alors un jeu d'enfant !
22. Utiliser la trigonométrie pour trouver une longueur
Quand tu connais la mesure d'un angle et la longueur d'un côté, tu peux trouver n'importe quelle autre longueur dans le triangle rectangle. La méthode est simple : 1) Repère l'angle connu. 2) Identifie, par rapport à cet angle, les côtés que tu connais et celui que tu cherches. 3) Choisis la formule (cos, sin ou tan) qui relie ces deux côtés. 4) Remplace les valeurs connues dans la formule. 5) Résous l'équation pour trouver l'inconnue. C'est comme une recette de cuisine, il suffit de suivre les étapes.
Un triangle EFG rectangle en F, avec angle E = 40° et EF = 5 cm. On cherche EG (l'hypoténuse). Par rapport à l'angle E, EF est le côté adjacent et EG est l'hypoténuse. La formule qui lie Adjacent et Hypoténuse est le cosinus. Donc : cos(40°) = EF/EG = 5/EG. Il faut ensuite calculer EG = 5 / cos(40°).
Si le côté cherché est en haut de la fraction (au numérateur), tu multiplies. S'il est en bas (au dénominateur), tu divises. Par exemple : Opposé = Hypoténuse × Sinus, mais Hypoténuse = Opposé / Sinus.
33. Trouver la mesure d'un angle, c'est possible !
Là où la trigonométrie devient vraiment puissante, c'est qu'elle permet aussi de retrouver la mesure d'un angle quand on connaît deux côtés. Tu vas utiliser les fonctions inverses de ta calculatrice, notées cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹. Attention, il faut bien que ta calculatrice soit en mode 'degrés' (DEG). La démarche est similaire : tu écris le rapport (opposé/hypoténuse par exemple), tu le calcules, puis tu utilises la touche appropriée (cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹) sur le résultat pour obtenir l'angle.
Dans un triangle rectangle, si le côté opposé à un angle mesure 3 cm et son côté adjacent mesure 4 cm, alors tan(angle) = 3/4 = 0,75. Pour trouver l'angle, on fait sur la calculatrice : tan⁻¹(0,75) ≈ 36,9°. La mesure de l'angle est d'environ 37°.
Sur ta calculatrice, cherche les touches '2nd' ou 'shift' ou 'alt' pour accéder aux fonctions cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹. Avant tout calcul, vérifie bien l'affichage 'DEG' en haut de l'écran.
44. Un outil pour le monde réel
La trigonométrie n'est pas qu'un exercice de papier. Les géomètres, les architectes, les navigateurs l'utilisent tous les jours. Elle permet de calculer des hauteurs inaccessibles, des distances, des pentes. Le principe est toujours le même : on crée un triangle rectangle imaginaire (ou réel) dans la situation, on repère un angle et une longueur, et on calcule ce qu'on veut savoir. C'est de la géométrie appliquée et utile !
Pour calculer la hauteur d'un arbre, tu te places à 10 m de son pied, et tu mesures l'angle entre l'horizontale et le sommet de l'arbre avec un clinomètre (disons 60°). Tu as un triangle rectangle : distance au pied = côté adjacent = 10m, hauteur = côté opposé. Donc tan(60°) = hauteur / 10. Ainsi, hauteur = 10 × tan(60°) ≈ 17,3 m.
Dans un problème concret, fais toujours un schéma à main levée en y reportant les données. Cela t'aidera à voir le triangle rectangle et à bien nommer les côtés.