En 3ème, le calcul littéral devient ton outil principal pour modéliser et résoudre des problèmes. Aujourd'hui, on va voir une technique puissante : les équations-produit. C'est le moment de devenir un pro de la factorisation et de la résolution d'équations !
Objectifs du chapitre
- •Savoir factoriser une expression pour la mettre sous forme d'un produit de facteurs
- •Comprendre et appliquer la règle du produit nul
- •Résoudre des équations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0
11. Rappel : la distributivité et la factorisation
La factorisation, c'est l'opération inverse de la distributivité. Quand tu développes, tu passes de k(a + b) à ka + kb. Quand tu factorises, tu fais le chemin inverse : tu repères un facteur commun dans une somme pour la transformer en produit. C'est comme si tu rangeais une chambre en regroupant les objets similaires dans des boîtes. Le facteur commun, c'est la boîte !
Pour 3x + 12, le facteur commun est 3. Donc 3x + 12 = 3 × x + 3 × 4 = 3(x + 4). Pour 5x² - 10x, le facteur commun est 5x. Donc 5x² - 10x = 5x × x - 5x × 2 = 5x(x - 2).
Pour trouver le facteur commun, cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, et la lettre avec le plus petit exposant.
22. La règle d'or : le produit nul
Voici la clé de tout ce chapitre : si un produit de facteurs est égal à zéro, alors au moins un des facteurs est égal à zéro. C'est logique ! Si tu multiplies plusieurs nombres et que le résultat est 0, c'est forcément qu'au moins un de ces nombres est 0. On ne peut pas obtenir 0 en multipliant uniquement des nombres non nuls. Cette règle va nous permettre de casser une équation compliquée en plusieurs petites équations simples.
Si A × B = 0, alors soit A = 0, soit B = 0 (ou les deux). Par exemple, si (x - 5)(x + 2) = 0, alors soit (x - 5) = 0, soit (x + 2) = 0.
Pense à une balance : le produit est à 0. Pour que la balance soit à l'équilibre, un des plateaux (un des facteurs) doit être vide (=0).
33. Résoudre une équation-produit, étape par étape
Pour résoudre une équation-produit, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est bien sous la forme 'produit de facteurs = 0'. Si ce n'est pas le cas, factorise d'abord l'expression ! Ensuite, applique la règle du produit nul : chaque facteur égalé à zéro te donne une petite équation du premier degré. Résous-les une par une. Les solutions de l'équation de départ sont l'ensemble des solutions trouvées.
Résoudre (2x - 6)(3x + 9) = 0. 1) C'est déjà sous la forme produit = 0. 2) Produit nul : 2x - 6 = 0 ou 3x + 9 = 0. 3) Résolution : 2x = 6 donc x = 3 ; et 3x = -9 donc x = -3. Les solutions sont x = 3 et x = -3.
N'oublie jamais de simplifier tes facteurs avant de les résoudre ! Dans l'exemple, on aurait pu écrire 2(x-3) et 3(x+3) pour résoudre encore plus vite.
44. Cas classique : les équations du type x² = a ou (ax+b)² = k
Ces équations se ramènent à une équation-produit grâce à une astuce cruciale : la différence de deux carrés. Souviens-toi de l'identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b). Si tu as x² = 16, tu peux écrire x² - 16 = 0, puis x² - 4² = 0, et enfin factoriser en (x - 4)(x + 4) = 0. Même principe pour un carré plus complexe.
Résoudre (x - 1)² = 25. 1) On passe tout à gauche : (x-1)² - 25 = 0. 2) On voit 25 = 5² : (x-1)² - 5² = 0. 3) On factorise avec a²-b² : [(x-1) - 5] × [(x-1) + 5] = 0. Soit (x - 6)(x + 4) = 0. 4) Produit nul : x = 6 ou x = -4.
Quand tu vois 'quelque chose au carré = un nombre', pense immédiatement à passer le nombre de l'autre côté et à utiliser a² - b².
55. Mise en situation : du problème concret à l'équation
Le vrai pouvoir des équations-produit, c'est de résoudre des problèmes de géométrie ou de mise en équation. On te donne souvent une aire, un volume ou un périmètre exprimé avec une inconnue x, et on te demande pour quelle valeur de x cette grandeur vaut 0 ou une certaine valeur. Il faut d'abord traduire le problème en langage mathématique (mettre en équation), puis factoriser pour se ramener à une équation-produit.
Un terrain rectangulaire a une longueur de (x+5) m et une largeur de (x-2) m. Son aire est de 28 m². Trouve x. 1) Équation : (x+5)(x-2) = 28. 2) On ramène à 0 : (x+5)(x-2) - 28 = 0. 3) On développe et réduit : x² + 3x -10 -28 = 0 → x² + 3x -38 = 0. 4) Ici, il faut savoir résoudre une équation du second degré (avec le discriminant, vu plus tard). Pour un niveau 3ème, le prof donnera des nombres qui se factorisent bien, par exemple si l'aire était 0, on aurait directement (x+5)(x-2)=0.
Dans un problème, si on te dit qu'une aire est nulle, c'est souvent que la figure a disparu ! Cela correspond aux solutions qui annulent un des facteurs (longueur ou largeur nulle).