En 4ème, tu vas découvrir l'un des théorèmes les plus célèbres et les plus utiles en mathématiques. Il porte le nom d'un mathématicien grec, Pythagore, et il te permettra de calculer des longueurs dans les triangles rectangles. C'est un outil indispensable, que tu retrouveras aussi bien en physique qu'en technologie.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre ce qu'est un triangle rectangle et identifier son hypoténuse
- •Connaître et appliquer la formule du théorème de Pythagore
- •Savoir utiliser le théorème pour calculer une longueur manquante
11. Le triangle rectangle et son hypoténuse
Pour utiliser le théorème de Pythagore, il faut d'abord être sûr d'avoir un triangle rectangle. Un triangle rectangle, c'est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à cet angle droit a un nom spécial : on l'appelle l'hypoténuse. C'est le côté le plus long du triangle. Les deux autres côtés, qui forment l'angle droit, sont appelés les côtés adjacents à l'angle droit. Retiens bien ce mot : hypoténuse, c'est la clé !
Imagine une équerre de ton trousseau. L'angle droit est dans le coin. Le côté le plus long, celui qui est en face de l'angle droit, c'est l'hypoténuse. Les deux côtés qui forment l'angle droit sont les côtés adjacents.
Pour repérer l'hypoténuse, cherche le côté qui n'est pas touché par l'angle droit. C'est toujours lui !
22. L'énoncé du théorème de Pythagore
Voici ce que Pythagore a découvert : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ça semble compliqué dit comme ça, mais en formule, c'est plus simple. Si on appelle l'hypoténuse 'c' et les deux autres côtés 'a' et 'b', alors on a : a² + b² = c². Cela veut dire que si tu calcules l'aire d'un carré construit sur l'hypoténuse, elle est exactement égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Si un triangle rectangle a des côtés de 3 cm et 4 cm formant l'angle droit, alors 3² + 4² = 9 + 16 = 25. L'hypoténuse mesure donc √25 = 5 cm. C'est le fameux triangle 3-4-5, très utilisé par les bâtisseurs.
La formule a² + b² = c² n'est vraie QUE si 'c' est l'hypoténuse. Ne mets pas n'importe quel côté à la place de 'c' !
33. Appliquer le théorème pour calculer l'hypoténuse
C'est l'utilisation la plus directe. Quand tu connais les longueurs des deux côtés de l'angle droit, tu peux trouver la longueur de l'hypoténuse. La méthode est simple : tu calcules la somme des carrés des deux côtés connus. Tu obtiens ainsi le carré de l'hypoténuse (c²). Pour trouver 'c', il ne te reste plus qu'à prendre la racine carrée de ce résultat avec ta calculatrice.
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit mesurant 6 cm et 8 cm. On calcule : 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc c² = 100. L'hypoténuse c mesure √100 = 10 cm.
N'oublie pas l'étape finale de la racine carrée ! Sinon, tu auras trouvé c² et non c.
44. Appliquer le théorème pour calculer un autre côté
Parfois, c'est l'hypoténuse et un seul côté qui sont connus, et tu dois trouver la longueur du côté manquant. Il faut alors réorganiser la formule. Par exemple, si tu cherches la longueur 'a', tu écris : a² = c² - b². Tu calcules la différence entre le carré de l'hypoténuse et le carré du côté connu. Ensuite, tu prends la racine carrée du résultat. C'est le même principe, mais avec une soustraction.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté mesure 5 cm. On cherche l'autre côté (appelons-le b). On a : b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144. Donc b = √144 = 12 cm.
Pense à bien soustraire dans le bon sens : toujours le [carré de l'hypoténuse] moins le [carré du côté connu]. L'hypoténuse est la plus grande longueur, donc c² est toujours plus grand.
55. Vérifier si un triangle est rectangle (la réciproque)
Le théorème de Pythagore a une super propriété qu'on appelle la réciproque. Elle te permet de vérifier si un triangle dont tu connais les trois côtés est rectangle. Comment faire ? Tu identifies la plus grande longueur (candidate pour être l'hypoténuse). Tu calcules d'un côté le carré de cette longueur, et de l'autre la somme des carrés des deux autres longueurs. Si les deux résultats sont égaux, alors le triangle est rectangle et le plus grand côté est bien l'hypoténuse. Sinon, il ne l'est pas.
Un triangle a des côtés de 9 cm, 12 cm et 15 cm. Le plus grand côté est 15 cm. On calcule : 15² = 225. Puis 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Les résultats sont égaux, donc le triangle est rectangle (son hypoténuse est le côté de 15 cm).
Cette réciproque est très utile pour vérifier l'équerrage d'une figure en technologie ou en géométrie.