En 4ème, tu vas découvrir que derrière beaucoup de situations de la vie courante se cache un outil mathématique puissant : la proportionnalité. Nous allons apprendre à la reconnaître, à la représenter et à l'utiliser grâce à une nouvelle fonction : la fonction linéaire.
Objectifs du chapitre
- •Reconnaître et représenter graphiquement une situation de proportionnalité
- •Définir et utiliser une fonction linéaire
- •Passer du tableau au graphique et à l'expression algébrique
1La proportionnalité, une vieille connaissance
Tu manipules la proportionnalité depuis l'école primaire sans toujours le savoir ! C'est une relation entre deux grandeurs où, lorsqu'on multiplie l'une par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Le coefficient de proportionnalité est la clé : c'est le nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de la première grandeur pour obtenir celles de la seconde. Dans un tableau de proportionnalité, on peut toujours passer d'une ligne à l'autre en multipliant par ce même coefficient.
Si 1 kg de pommes coûte 2,50 €, alors 3 kg coûtent 3 × 2,50 = 7,50 €. Le prix est proportionnel à la masse. Le coefficient est 2,50 (€/kg).
Pour vérifier la proportionnalité dans un tableau, regarde si les quotients des nombres de la deuxième ligne par ceux de la première sont tous identiques. C'est ce quotient qui donne le coefficient !
2Représentation graphique : la droite qui passe par l'origine
Quand on représente une situation de proportionnalité dans un repère, quelque chose de magique apparaît. Si on place les points correspondants aux couples (x ; y) du tableau, tous ces points sont alignés sur une droite. Et cette droite a une particularité essentielle : elle passe toujours par le point (0 ; 0), l'origine du repère. Pourquoi ? Parce que si la quantité x est nulle, alors la quantité y qui lui est proportionnelle est nulle aussi !
Reprenons les pommes. On place en abscisse (axe horizontal) la masse en kg, et en ordonnée (axe vertical) le prix en €. Les points (1 ; 2,5), (2 ; 5), (3 ; 7,5) sont alignés et la droite qui les relie passe par (0 ; 0).
Pour tracer la droite, il te suffit de placer l'origine (0;0) et un autre point facile du tableau. Trace la droite qui les relie, et c'est fait !
3La fonction linéaire, l'outil algébrique de la proportionnalité
Pour modéliser une situation de proportionnalité de façon générale, on utilise une fonction. On l'appelle une fonction linéaire. Elle se note f(x) et s'écrit toujours sous la forme f(x) = a × x. Le nombre 'a' est le coefficient directeur. Il donne la pente de la droite : plus 'a' est grand, plus la droite monte vite. La variable x est le nombre de départ (par exemple la masse), et f(x) est le nombre d'arrivée (par exemple le prix).
Avec nos pommes à 2,50 € le kg, la fonction linéaire est f(x) = 2,5 × x. Pour 3 kg, on calcule f(3) = 2,5 × 3 = 7,5 €.
Le coefficient 'a' se calcule facilement : a = f(x) / x (pour x différent de 0). Choisis un couple de ton tableau et fais la division !
4Lire et utiliser une fonction linéaire
Maintenant que tu as ta fonction f(x) = a × x, tu peux tout faire ! Tu peux calculer l'image d'un nombre (on remplace x par la valeur). Tu peux aussi trouver l'antécédent d'un nombre, c'est-à-dire la valeur de x qui donne un certain f(x). Pour cela, il faut résoudre une petite équation : si f(x) = résultat, alors a × x = résultat, donc x = résultat ÷ a.
Avec f(x) = 2,5x. L'image de 4 est f(4) = 2,5 × 4 = 10. L'antécédent de 15 est le nombre x tel que 2,5 × x = 15, donc x = 15 ÷ 2,5 = 6.
Pour trouver l'antécédent graphiquement, repère la valeur sur l'axe des ordonnées (vertical), suis l'horizontale jusqu'à la droite, puis descends verticalement pour lire la valeur sur l'axe des abscisses.
5Synthèse : les trois visages d'une même idée
Une situation de proportionnalité, c'est comme un super-héros avec trois identités secrètes. Elle peut se présenter sous forme d'un tableau de nombres, d'une droite dans un repère, ou d'une expression algébrique f(x)=ax. Tu dois savoir passer de l'une à l'autre ! Le tableau te donne des valeurs précises, le graphique te donne une vision globale, et la fonction te permet de faire tous les calculs. Le lien entre les trois ? Le fameux coefficient 'a'.
Problème : 5 L d'essence coûtent 9 €. Représente la situation. 1) Tableau : (5 ; 9) → coefficient a = 9/5 = 1,8. 2) Fonction : f(x) = 1,8x. 3) Graphique : droite passant par (0;0) et (5 ; 9).
Quand tu es face à un problème, demande-toi : 'Est-ce que si je double la première grandeur, la seconde double aussi ?' Si oui, c'est de la proportionnalité. Alors, cherche ton coefficient 'a' !