En 4ème, tu vas découvrir un outil magique en géométrie : le théorème de Thalès. Il te permettra de trouver des longueurs inaccessibles, comme la hauteur d'un arbre sans grimper, juste en utilisant des droites qui se croisent et un peu de calcul. C'est un outil puissant que tu utiliseras jusqu'au lycée !
Objectifs du chapitre
- •Reconnaître la configuration de Thalès (le 'papillon' ou les triangles emboîtés)
- •Appliquer correctement les égalités de rapports pour trouver une longueur manquante
- •Savoir rédiger proprement la résolution d'un exercice avec le théorème
11. La situation de départ : deux triangles emboîtés
Imagine deux triangles qui partagent le même sommet, comme un grand triangle et un petit triangle à l'intérieur. La condition essentielle est que les côtés du petit triangle soient parallèles aux côtés du grand triangle. On dit qu'ils sont 'emboîtés' et qu'ils ont la même forme, mais pas la même taille. C'est ce qu'on appelle une configuration de Thalès. On peut aussi avoir la configuration dite 'en papillon' avec deux triangles qui se touchent, mais la règle des droites parallèles reste la clé.
Pense à un chapiteau de cirque (le grand triangle ABC) et à un mât intérieur (le petit triangle ADE) dont les côtés sont parallèles aux côtés du chapiteau. Si tu connais certaines mesures du chapiteau et du mât, tu pourras calculer les autres.
Dessine toujours la figure et colorie les deux triangles de couleurs différentes pour bien les visualiser. Cherche les deux triangles qui partagent un sommet commun et qui ont des côtés parallèles.
22. L'égalité des rapports : le cœur du théorème
Quand tu es dans la configuration de Thalès, les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles. Cela signifie que si tu divises la longueur d'un petit côté par celle du grand côté correspondant, tu obtiens toujours le même nombre. Ce nombre est le coefficient de réduction (ou d'agrandissement). On écrit ces divisions sous forme de fractions égales. Il y a trois rapports égaux possibles.
Sur ta figure, si (BC) // (DE), alors on a : AD/AB = AE/AC = DE/BC. Les côtés AD et AB sont dans le même alignement, tout comme AE et AC, et DE et BC sont les deux bases parallèles.
Pour bien placer les rapports, suis l'ordre des points : commence par le sommet commun (A), puis va vers un point sur le petit triangle (D), et termine sur le grand triangle (B). Le numérateur est toujours du même triangle (le petit par exemple).
33. Appliquer le théorème pour calculer une longueur
Maintenant, passons à la pratique ! Tu vas utiliser l'égalité des trois rapports comme une équation. Tu remplaces les longueurs que tu connais par leurs valeurs numériques. Il y aura une seule longueur inconnue, que l'on appelle souvent x. Il suffit alors de résoudre l'équation (faire un produit en croix) pour trouver la valeur de x. N'oublie pas de préciser l'unité (cm, m...) à la fin.
Si AD = 3 cm, AB = 5 cm et DE = 4 cm, et que tu cherches BC. Tu écris : AD/AB = DE/BC donc 3/5 = 4/x. Produit en croix : 3 × x = 5 × 4 donc 3x = 20, et x = 20/3 ≈ 6,67 cm.
Avant de calculer, vérifie bien que tu es dans les conditions d'application : points alignés et droites parallèles. Ta rédaction doit toujours commencer par énoncer ces conditions.
44. La réciproque du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès a une 'réciproque'. C'est comme faire le chemin inverse. Elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Pour l'utiliser, tu dois d'abord vérifier que les points sont bien alignés dans le bon ordre. Ensuite, tu calcules les rapports de Thalès. Si ces rapports sont égaux, alors tu peux conclure que les droites sont parallèles. Attention, l'égalité doit porter sur les mêmes rapports que dans la configuration !
Si tu sais que AD/AB = AE/AC, et que les points A, D, B et A, E, C sont alignés dans le même ordre, alors tu peux en déduire que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Pour la réciproque, l'égalité des rapports AD/AB et AE/AC suffit. Tu n'as pas besoin de vérifier le troisième rapport (DE/BC). Pense bien à mentionner l'alignement des points dans l'ordre.
55. Un piège à éviter : l'alignement dans le bon ordre
Un des pièces classiques est de mal placer les points dans les rapports. Les points doivent être alignés et écrits dans le bon ordre en partant du sommet commun. Par exemple, si le sommet commun est A, l'ordre peut être A, puis D, puis B sur une droite, et A, puis E, puis C sur l'autre. Si les points ne sont pas dans le bon ordre (par exemple A, B, D), la configuration n'est pas bonne et tu ne peux pas appliquer le théorème directement.
Sur une droite, si l'ordre des points est A, B, D (avec B entre A et D), le rapport à utiliser est AB/AD et non AD/AB. Il faut absolument partir du sommet commun A.
Sur ta figure, trace des flèches de couleurs partant du sommet commun A vers les autres points pour bien voir l'ordre d'alignement. C'est une étape cruciale avant d'écrire tes rapports.