Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans deux triangles construits sur deux droites sécantes et délimités par deux droites parallèles. On utilise l’alignement, le parallélisme et la proportionnalité ; la figure peut représenter une réduction, un agrandissement ou une configuration en papillon.
Objectifs du chapitre
- •Reconnaître la configuration de Thalès (le 'papillon' ou les triangles emboîtés)
- •Appliquer correctement les égalités de rapports pour trouver une longueur manquante
- •Savoir rédiger proprement la résolution d'un exercice avec le théorème
11. La situation de départ : deux triangles emboîtés
On considère un triangle ABC non aplati. Le point D est sur la droite (AB), le point E sur la droite (AC), et les points B, C, D et E sont distincts de A. Lorsque (DE) est parallèle à (BC), les triangles ADE et ABC forment une configuration de Thalès. D et E peuvent être entre A et B, C, au-delà de B et C, ou de l’autre côté de A dans une configuration en papillon.
Dans le triangle ABC, place D sur [AB] et E sur [AC]. Si (DE) est parallèle à (BC), le triangle ADE est une réduction du triangle ABC. En plaçant D au-delà de B et E au-delà de C avec le même parallélisme, on obtient un agrandissement.
Dessine toujours la figure et colorie les deux triangles de couleurs différentes pour bien les visualiser. Cherche les deux triangles qui partagent un sommet commun et qui ont des côtés parallèles.
22. L'égalité des rapports : le cœur du théorème
Quand tu es dans la configuration de Thalès, les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles. Cela signifie que si tu divises la longueur d'un petit côté par celle du grand côté correspondant, tu obtiens toujours le même nombre. Ce nombre est le coefficient de réduction (ou d'agrandissement). On écrit ces divisions sous forme de fractions égales. Il y a trois rapports égaux possibles.
Sur ta figure, si (BC) // (DE), alors on a : AD/AB = AE/AC = DE/BC. Les côtés AD et AB sont dans le même alignement, tout comme AE et AC, et DE et BC sont les deux bases parallèles.
Pour bien placer les rapports, suis l'ordre des points : commence par le sommet commun (A), puis va vers un point sur le petit triangle (D), et termine sur le grand triangle (B). Le numérateur est toujours du même triangle (le petit par exemple).
33. Appliquer le théorème pour calculer une longueur
Maintenant, passons à la pratique ! Tu vas utiliser l'égalité des trois rapports comme une équation. Tu remplaces les longueurs que tu connais par leurs valeurs numériques. Il y aura une seule longueur inconnue, que l'on appelle souvent x. Il suffit alors de résoudre l'équation (faire un produit en croix) pour trouver la valeur de x. N'oublie pas de préciser l'unité (cm, m...) à la fin.
Si AD = 3 cm, AB = 5 cm et DE = 4 cm, et que tu cherches BC. Tu écris : AD/AB = DE/BC donc 3/5 = 4/x. Produit en croix : 3 × x = 5 × 4 donc 3x = 20, et x = 20/3 ≈ 6,67 cm.
Avant de calculer, vérifie bien que tu es dans les conditions d'application : points alignés et droites parallèles. Ta rédaction doit toujours commencer par énoncer ces conditions.
44. La réciproque du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès a une 'réciproque'. C'est comme faire le chemin inverse. Elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Pour l'utiliser, tu dois d'abord vérifier que les points sont bien alignés dans le bon ordre. Ensuite, tu calcules les rapports de Thalès. Si ces rapports sont égaux, alors tu peux conclure que les droites sont parallèles. Attention, l'égalité doit porter sur les mêmes rapports que dans la configuration !
Si tu sais que AD/AB = AE/AC, et que les points A, D, B et A, E, C sont alignés dans le même ordre, alors tu peux en déduire que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Pour la réciproque, l'égalité des rapports AD/AB et AE/AC suffit. Tu n'as pas besoin de vérifier le troisième rapport (DE/BC). Pense bien à mentionner l'alignement des points dans l'ordre.
55. Un piège à éviter : confondre ordre des points et correspondance des côtés
L’ordre A, B, D ne rend pas le théorème impossible : il peut correspondre à un agrandissement. Sous les hypothèses d’alignement et de parallélisme, AD/AB = AE/AC = DE/BC reste valable. On peut aussi inverser les trois rapports ensemble. Ce qui est incorrect, c’est d’inverser seulement un rapport ou de comparer des côtés qui ne se correspondent pas. Pour utiliser la réciproque, les alignements et la disposition des points doivent être vérifiés avant de conclure au parallélisme.
Si AB = 3 cm, AC = 2 cm, AD = 6 cm et AE = 4 cm, avec A, B, D et A, C, E alignés dans le même ordre, alors AD/AB = AE/AC = 2. Les droites (DE) et (BC) sont parallèles par la réciproque. D et E sont au-delà de B et C : il s’agit d’un agrandissement de rapport 2.
Écris d’abord les triangles correspondants ADE et ABC. Compare AD avec AB, AE avec AC et DE avec BC, dans le même sens pour les trois quotients.
