Ce chapitre de Première est un pilier des mathématiques. Il te donne les outils pour analyser précisément le comportement d'une fonction : savoir quand elle monte, quand elle descend, où elle atteint ses extrêmes. Ces notions sont essentielles pour la physique, l'économie et pour la suite de ton parcours en Terminale.
Objectifs du chapitre
- •Calculer la dérivée d'une fonction usuelle ou d'une combinaison simple de fonctions.
- •Déterminer les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée.
- •Trouver les extremums (minimums et maximums) d'une fonction sur un intervalle.
11. Le nombre dérivé et la tangente
Imagine que tu zoomes énormément sur un point d'une courbe. À très grande échelle, la courbe ressemble à une droite : c'est la tangente. Le coefficient directeur de cette tangente en un point A s'appelle le nombre dérivé de la fonction en ce point. Il mesure la vitesse de variation instantanée de la fonction. Si ce nombre est positif, la fonction monte à cet endroit. S'il est négatif, elle descend. S'il est nul, la tangente est horizontale. On note ce nombre f'(a) pour la fonction f au point d'abscisse a.
Prenons f(x) = x². En x=1, le nombre dérivé f'(1) vaut 2. Cela signifie qu'au point (1;1), la courbe monte avec une pente de 2. L'équation de la tangente en ce point est y = 2(x-1) + 1, soit y = 2x - 1.
Pour visualiser le signe de f'(a), pense simplement : tangente qui monte -> f'(a) > 0 ; tangente horizontale -> f'(a) = 0 ; tangente qui descend -> f'(a) < 0.
22. La fonction dérivée et les formules de base
Plutôt que de calculer le nombre dérivé point par point, on définit une nouvelle fonction, la fonction dérivée, notée f'. Elle associe à tout x où elle existe le nombre dérivé f'(x). Tu dois connaître par cœur les dérivées des fonctions de référence. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Pour une fonction multipliée par une constante, tu dérives la fonction et tu multiplies le résultat par la constante.
Si f(x) = 3x² + 4x - 5, alors sa dérivée est f'(x) = 3*(2x) + 4*(1) - 0 = 6x + 4. Ici, on a utilisé la dérivée de x² (qui donne 2x), de x (qui donne 1) et d'une constante (qui donne 0).
Fais une fiche avec ces formules et entraîne-toi à les réciter jusqu'à ce qu'elles deviennent un réflexe. C'est la base pour tout le chapitre !
33. Lien entre le signe de la dérivée et les variations
C'est le cœur de l'étude de fonctions. Le signe de la fonction dérivée f' sur un intervalle te renseigne directement sur les variations de la fonction f. Si f'(x) est positive (ou nulle) sur un intervalle I, alors f est croissante sur I. Si f'(x) est négative (ou nulle) sur I, alors f est décroissante sur I. Pour étudier les variations, tu dois donc d'abord calculer f'(x), puis étudier son signe, souvent à l'aide d'un tableau de signes.
Reprenons f(x) = x² - 4x + 3. Sa dérivée est f'(x) = 2x - 4. f'(x) > 0 ⇔ 2x - 4 > 0 ⇔ x > 2. Donc f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[.
Pour dresser le tableau de variations, commence toujours par résoudre f'(x)=0 pour trouver les valeurs qui séparent les intervalles où le signe de f' change.
44. Extremums : minimums et maximums locaux
Un extremum est un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum local. Graphiquement, c'est souvent un sommet (pour un maximum) ou un creux (pour un minimum). Ces points se produisent généralement là où la dérivée s'annule en changeant de signe. Si f' s'annule en passant du positif au négatif, tu as un maximum local. Si elle s'annule en passant du négatif au positif, tu as un minimum local. Attention, une dérivée nulle ne garantit pas toujours un extremum (exemple : x³ en 0).
Avec f(x) = x² - 4x + 3, f'(x)=2x-4 s'annule en x=2. Avant 2, f'(x) est négative (f décroît), après 2, f'(x) est positive (f croît). Donc en x=2, f passe par un minimum. f(2) = -1 est la valeur minimale.
Pour vérifier le changement de signe, choisis une valeur test juste avant et juste après la racine de f'(x)=0 et calcule f' à ces endroits.
55. Étude complète d'une fonction : la méthode
Pour étudier complètement une fonction, tu suis une méthode en 5 étapes. 1) Calculer la dérivée f'(x). 2) Déterminer le signe de f'(x) (en factorisant si possible). 3) Dresser le tableau de signes de f'(x) et le tableau de variations de f qui en découle. 4) Calculer les images des points importants (où f' s'annule, bornes de l'intervalle d'étude). 5) Tracer une esquisse de la courbe représentative en utilisant les informations du tableau. Cette démarche systématique est ton meilleur allié pour les exercices.
Étudions f(x)= -x² + 2x sur [0;2]. 1) f'(x)= -2x + 2. 2) f'(x) > 0 ⇔ -2x+2 > 0 ⇔ x < 1. 3) Tableau : f' positive sur [0;1[, nulle en 1, négative sur ]1;2]. Donc f croissante puis décroissante. 4) f(0)=0, f(1)=1 (maximum), f(2)=0. 5) Courbe en parabole tournée vers le bas, partant de (0,0), montant jusqu'à (1,1) et redescendant à (2,0).
Sois rigoureux et propre dans la construction de tes tableaux. Une colonne pour x, une pour le signe de f'(x), et une avec les flèches de variation de f. C'est la clé pour bien visualiser.