Les suites numériques sont un outil fondamental pour modéliser et étudier des phénomènes qui évoluent étape par étape. En Première, tu vas apprendre à les définir, à les représenter et à analyser leur comportement. Ce chapitre est la base pour comprendre des concepts plus avancés comme la dérivation et les probabilités.
Objectifs du chapitre
- •Savoir définir une suite de manière explicite ou par récurrence
- •Maîtriser la représentation graphique d'une suite et l'utilisation du tableur
- •Déterminer le sens de variation et la convergence d'une suite simple
11. Qu'est-ce qu'une suite ? Définitions et modes de génération
Une suite numérique, c'est simplement une liste ordonnée de nombres réels. On note généralement ces nombres u₀, u₁, u₂, ..., uₙ. L'indice n s'appelle le rang. Il existe deux façons principales de définir une suite. La première, c'est de donner une formule explicite qui te permet de calculer directement uₙ en fonction de n. Par exemple, uₙ = 2n + 1. La seconde méthode, très puissante, est la définition par récurrence : on donne le premier terme (ou les premiers), et une relation qui te permet de calculer un terme à partir du précédent. C'est comme une chaîne de calculs.
Suite explicite : uₙ = n² - 3. Pour n=0, u₀ = -3 ; pour n=1, u₁ = -2 ; pour n=2, u₂ = 1. Suite par récurrence : On pose u₀ = 5 et pour tout n, uₙ₊₁ = 2*uₙ - 1. Alors u₁ = 2*5 - 1 = 9, u₂ = 2*9 - 1 = 17, etc.
Pour reconnaître : si on te demande u₁₀, une formule explicite est plus rapide. Si on te décrit un processus ("chaque mois, mon capital augmente de 2%"), c'est souvent une récurrence.
22. Représenter une suite : graphique et tableur
Une suite n'est pas une fonction continue, mais on peut la visualiser de deux façons. La première, c'est la représentation en nuage de points : dans un repère, tu places les points de coordonnées (n ; uₙ). Tu verras ainsi l'évolution des termes. La seconde méthode, très utile, est le recours au tableur (comme Excel ou Calc). Tu entres la formule de ta suite dans une colonne et le tableur calcule instantanément des dizaines de termes. C'est parfait pour observer un comportement à long terme ou pour les suites définies par récurrence.
Pour la suite uₙ = (-0.8)ⁿ + 2. Sur ton graphique, tu places les points (0, 3), (1, 1.2), (2, 2.64)... Tu verras que les points oscillent et semblent se rapprocher de la droite d'équation y=2. Au tableur, tu tapes en B1 la valeur de n (0), en C1 la formule =(-0.8)^B1+2. Puis tu tires la formule vers le bas.
Dans ta calculatrice, utilise le mode SUITE ou SEQ. Pour une suite récurrente, tu dois entrer la valeur initiale et la relation de récurrence.
33. Sens de variation : croissante ou décroissante ?
Comme pour une fonction, on veut savoir si les termes d'une suite augmentent ou diminuent quand n augmente. Une suite (uₙ) est croissante si pour tout rang n, uₙ₊₁ ≥ uₙ. Elle est décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. Pour le démontrer, tu as deux armes principales. La première, c'est d'étudier le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ. Si cette différence est toujours positive, la suite croît. La seconde, pour les suites à termes strictement positifs, c'est de comparer le rapport uₙ₊₁ / uₙ à 1.
Soit uₙ = n² - 3n. Étudions uₙ₊₁ - uₙ. uₙ₊₁ = (n+1)² - 3(n+1) = n² + 2n +1 -3n -3 = n² - n -2. Donc uₙ₊₁ - uₙ = (n² - n -2) - (n² - 3n) = 2n - 2. Cette différence est positive dès que n ≥ 1. La suite est donc croissante à partir du rang 1.
N'oublie pas que le sens de variation peut changer ! Une suite n'est pas forcément toujours croissante ou toujours décroissante. Regarde bien le signe de ta différence en fonction de n.
44. Suites arithmétiques et géométriques : les deux modèles de base
Ce sont les deux familles de suites les plus simples et les plus importantes. Une suite arithmétique évolue en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison (notée r). Son terme général est uₙ = u₀ + n*r. Une suite géométrique évolue en multipliant toujours par le même nombre, la raison (notée q). Son terme général est uₙ = u₀ * qⁿ. Elles modélisent des situations très concrètes : les intérêts simples (arithmétique) ou composés (géométrique), la dépréciation d'un bien, etc.
Arithmétique : Tu places 100€ et tu ajoutes 10€ par mois. u₀=100, r=10. Au bout de n mois, uₙ = 100 + 10n. Géométrique : Tu places 100€ à 2% d'intérêts composés par an. u₀=100, q=1.02. Au bout de n années, uₙ = 100 * (1.02)ⁿ.
Pour reconnaître une suite arithmétique, vérifie que uₙ₊₁ - uₙ est constant. Pour une géométrique à termes non nuls, vérifie que uₙ₊₁ / uₙ est constant.
55. Notion de limite et de convergence
Le comportement à long terme d'une suite est crucial. Vers quelle valeur se dirige uₙ quand n devient très grand ? Si les termes se rapprochent indéfiniment d'un nombre réel fini l, on dit que la suite converge vers l, et on note lim(uₙ) = l. Sinon, elle diverge. Par exemple, une suite géométrique de raison q converge vers 0 si |q| < 1. Si q > 1, elle diverge vers +∞. En Première, tu étudieras surtout ces cas simples et tu apprendras à conjecturer une limite à l'aide du tableur ou de la calculatrice.
La suite uₙ = 1/n converge vers 0. La suite vₙ = 2ⁿ diverge vers +∞. La suite wₙ = (-1)ⁿ ne converge pas car elle oscille entre -1 et 1. Pour la suite géométrique uₙ = 5 * (0.7)ⁿ, comme 0.7 est entre -1 et 1, sa limite est 0.
Pour conjecturer une limite, calcule ou fais calculer par la machine des termes de rang élevé (u₁₀₀, u₁₀₀₀). S'ils se stabilisent autour d'une valeur, c'est un bon indice de convergence.