Dans la vie, on prend souvent des décisions en fonction d'informations que l'on découvre progressivement. Les probabilités conditionnelles te permettent justement de quantifier comment une nouvelle information modifie tes prévisions. En Première, tu vas apprendre à manier cet outil puissant qui est à la base du raisonnement bayésien, utilisé en médecine, en intelligence artificielle et dans bien d'autres domaines.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre et calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre est déjà réalisé.
- •Utiliser la formule des probabilités conditionnelles et l'arbre pondéré pour résoudre des problèmes.
- •Reconnaître et exploiter l'indépendance de deux événements pour simplifier les calculs.
11. Intuition et définition
Imagine que tu lances un dé équilibré à six faces. La probabilité d'obtenir un 6 est de 1/6. Maintenant, si on te dit que le résultat est un nombre pair (2, 4 ou 6), cette information change la donne. L'univers des possibles se réduit à trois issues. Parmi elles, une seule est un 6. La probabilité d'avoir un 6 sachant que le résultat est pair est donc de 1/3. C'est l'idée de la probabilité conditionnelle : on restreint l'univers à un événement dont on est sûr (ici, 'le résultat est pair') et on recalcule la probabilité de l'événement qui nous intéresse dans ce nouveau cadre.
Dans une classe de 30 élèves, 18 filles et 12 garçons, dont 10 filles et 4 garçons portent des lunettes. Si tu choisis un élève au hasard et que tu sais que c'est une fille, quelle est la probabilité qu'elle porte des lunettes ? L'information 'c'est une fille' réduit l'univers à 18 élèves. Parmi ces 18 filles, 10 portent des lunettes. La probabilité conditionnelle est donc 10/18, soit 5/9.
Pour bien comprendre P(A∩B), pense à 'l'événement A ET B'. C'est l'intersection des deux. Dans l'exemple, A∩B c'est 'l'élève est une fille ET porte des lunettes'.
22. La formule et l'arbre pondéré
La formule P_A(B) = P(A∩B) / P(A) est ton outil principal. Elle se lit : 'la probabilité de B sachant A est égale à la probabilité que A et B se réalisent, divisée par la probabilité de A'. L'arbre pondéré est une représentation visuelle très efficace pour modéliser une succession d'épreuves. Sur les branches, tu notes les probabilités conditionnelles. La règle fondamentale à retenir : la probabilité d'un chemin (une suite de branches) est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire successivement deux boules sans remise. Construisons l'arbre. Au premier tirage, P(R1) = 5/8 et P(V1) = 3/8. Si la première est rouge, il reste 4 rouges et 3 vertes, donc P_{R1}(R2) = 4/7. La probabilité d'obtenir deux boules rouges est le produit le long du chemin R1→R2 : (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14.
Quand tu construis un arbre, vérifie que la somme des probabilités sur les branches qui partent d'un même nœud est bien égale à 1. C'est un excellent moyen de détecter une erreur de calcul.
33. Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la réalisation de l'autre. Concrètement, savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Mathématiquement, cela se traduit par l'égalité P_A(B) = P(B). En utilisant la formule du produit, on obtient la définition équivalente la plus utilisée : P(A∩B) = P(A) × P(B). Attention ! L'indépendance est une propriété qui se démontre ou se vérifie par le calcul, ce n'est pas une évidence intuitive.
On lance deux dés équilibrés, un rouge et un bleu. L'événement A : 'le dé rouge montre un 6' et l'événement B : 'le dé bleu montre un 3'. P(A) = 1/6, P(B) = 1/6. L'événement A∩B est 'le dé rouge montre 6 ET le bleu montre 3', sa probabilité est (1/6)×(1/6)=1/36. On a bien P(A∩B) = P(A)×P(B). Les événements sont indépendants : le résultat d'un dé n'influence pas l'autre.
Ne confonds pas 'événements indépendants' et 'événements incompatibles' (A∩B = ∅). L'indépendance est une notion liée aux probabilités, l'incompatibilité est une notion ensembliste.
44. Partition de l'univers et formule des probabilités totales
Parfois, pour calculer la probabilité d'un événement B, il est plus simple de le découper selon plusieurs scénarios. Si les événements A1, A2, ..., An forment une partition de l'univers (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers entier), alors la probabilité de B est la somme des probabilités de B dans chaque scénario. C'est la formule des probabilités totales. Sur un arbre, cela revient à additionner les probabilités de tous les chemins qui mènent à B.
Reprenons l'urne avec 5 boules rouges et 3 vertes. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité P(R2) que la deuxième boule soit rouge ? Les événements 'la première boule est rouge' (R1) et 'la première boule est verte' (V1) forment une partition. On a : P(R2) = P(R1∩R2) + P(V1∩R2) = (5/8 × 4/7) + (3/8 × 5/7) = (20/56) + (15/56) = 35/56 = 5/8. Intéressant : P(R2) = P(R1) !
Pour appliquer cette formule, identifie d'abord la partition la plus simple. Souvent, c'est lié à la première étape d'une expérience à plusieurs étapes.