La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques, en sciences et en économie. En Première, tu vas découvrir cette fonction unique, définie comme la seule fonction égale à sa propre dérivée. Tu vas apprendre à la manipuler, à résoudre des équations avec elle et à comprendre pourquoi elle est si cruciale pour modéliser des phénomènes comme la croissance d'une population ou la décroissance radioactive.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre la définition de la fonction exponentielle et sa relation unique avec sa dérivée.
- •Maîtriser les propriétés algébriques essentielles pour simplifier et calculer des expressions exponentielles.
- •Savoir résoudre des équations et inéquations simples faisant intervenir l'exponentielle.
- •Apprendre à étudier et à représenter graphiquement une fonction de la forme exp(u(x)).
11. Définition et nombre e
La fonction exponentielle, notée exp(x) ou plus souvent e^x, est définie comme l'unique fonction f qui vérifie deux conditions : elle est dérivable sur R, sa dérivée est égale à elle-même (f' = f), et elle prend la valeur 1 en 0 (f(0)=1). Le nombre 'e' est une constante mathématique fondamentale, approximativement égale à 2,718. C'est la valeur que prend la fonction exponentielle en 1 : e^1 = e. Sa croissance est dite 'exponentielle' car elle augmente de plus en plus vite.
Si tu places 100€ à un taux d'intérêt de 100% par an (c'est théorique !), et que les intérêts se composent continûment, ton capital après un an ne sera pas 200€, mais environ 100 * e ≈ 271,8€. C'est la puissance de la croissance exponentielle continue.
Retiens ceci : la pente de la tangente à la courbe de l'exponentielle en un point est exactement égale à la valeur de la fonction en ce point. C'est sa propriété la plus remarquable.
22. Propriétés algébriques fondamentales
La fonction exponentielle transforme les additions en multiplications. C'est sa caractéristique algébrique principale. Concrètement, quand tu additionnes dans l'exposant, tu multiplies les résultats. À l'inverse, une multiplication dans l'exposant correspond à une élévation à une puissance. Ces règles sont les transpositions des règles sur les puissances que tu connais déjà, car e^x n'est rien d'autre qu'une puissance.
e^(2+3) = e^2 * e^3. De même, e^(2*3) = (e^2)^3 = (e^3)^2. Pour un nombre réel a, e^(-a) = 1 / e^a. Par exemple, e^(-1) = 1/e ≈ 0,367.
Ces formules sont tes meilleures alliées pour simplifier des expressions compliquées. Avant de calculer, regarde toujours si tu peux les combiner ou les séparer.
33. Courbe représentative et variations
La courbe de la fonction x → e^x, souvent appelée 'courbe exponentielle', a une forme très caractéristique. Elle passe toujours par le point (0 ; 1) car e^0=1. Elle est strictement croissante sur R. Pour les valeurs négatives de x très grandes (x → -∞), e^x se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre : l'axe des abscisses est une asymptote horizontale. Pour les valeurs positives grandes (x → +∞), e^x tend vers +∞ très rapidement. La fonction est toujours positive : e^x > 0 pour tout x réel.
Quelques points de repère : e^0=1, e^1≈2.7, e^2≈7.4. À l'inverse, e^(-1)≈0.37, e^(-2)≈0.14. Tu vois que les valeurs deviennent très petites très vite en allant vers -∞, et très grandes très vite en allant vers +∞.
Dessine-toi mentalement cette courbe en forme de 'J' allongé qui part de très près de 0 à gauche, passe par (0;1) et monte de plus en plus verticalement à droite. C'est son portrait-robot.
44. Résolution d'équations et d'inéquations
Résoudre une équation avec l'exponentielle repose sur une idée simple : la fonction exponentielle est strictement croissante. Cela signifie que si deux exponentielles sont égales, alors leurs exposants sont forcément égaux. C'est comme si tu 'enlevais' le 'exp()' de chaque côté. Pour les inéquations, tu utilises la même croissance : le sens de l'inégalité est conservé quand tu appliques la fonction logarithme (son inverse, que tu verras plus tard), ou tu raisonnes directement sur les exposants si les bases sont les mêmes.
Pour résoudre e^(2x+1) = e^3, tu poses directement 2x+1 = 3, donc x = 1. Pour résoudre e^(x-5) > 1, tu remarques que 1 = e^0. L'inéquation devient e^(x-5) > e^0. Comme la fonction est croissante, cela donne x-5 > 0, donc x > 5.
Avant de résoudre, essaie toujours de réécrire tous les termes sous forme d'exponentielles avec la même base (e). La constante 1, par exemple, c'est toujours e^0.
55. Dérivée de exp(u(x))
Tu sais que la dérivée de exp(x) est exp(x). Mais comment dériver e^(3x+2) ou e^(x²) ? On utilise la formule de dérivation des fonctions composées. Si tu as une fonction u(x) et que tu considères exp(u(x)), sa dérivée est u'(x) * exp(u(x)). En pratique, tu dérives l'exposant et tu le multiplies par l'exponentielle de départ. C'est une formule extrêmement puissante pour étudier les variations de fonctions plus complexes.
Soit f(x) = e^(3x+2). Ici, u(x) = 3x+2, donc u'(x) = 3. Alors f'(x) = 3 * e^(3x+2). Soit g(x) = e^(x²). Ici, u(x) = x², donc u'(x) = 2x. Alors g'(x) = 2x * e^(x²).
Quand tu dérives une exponentielle, la dérivée est TOUJOURS de la forme (quelque chose) * (l'exponentielle de départ). L'exponentielle ne disparaît jamais à la dérivation.