En Première, tu vas passer de la trigonométrie dans le triangle rectangle à l'étude de véritables fonctions. Ces fonctions, sinus et cosinus, sont essentielles pour modéliser les phénomènes périodiques que tu rencontres en physique (ondes, pendule) ou dans la vie courante (saisons, marées). On va apprendre à les tracer, à les manipuler et à résoudre des équations.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre et tracer les courbes des fonctions sinus et cosinus sur ℝ
- •Maîtriser les principales propriétés de ces fonctions (périodicité, parité, valeurs remarquables)
- •Savoir résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples
11. Du cercle trigonométrique aux fonctions
Tu connais déjà le cercle trigonométrique, de centre O et de rayon 1. Sur ce cercle, à un nombre réel x, on associe un point M. L'abscisse de ce point M est cos(x) et son ordonnée est sin(x). La grande nouveauté, c'est qu'on va maintenant considérer x comme une variable et étudier comment cos(x) et sin(x) évoluent quand x parcourt ℝ. Cela définit deux fonctions : la fonction cosinus (x → cos(x)) et la fonction sinus (x → sin(x)). Leur ensemble de définition est ℝ tout entier.
Pour x = π/3 (soit 60°), le point M sur le cercle a pour coordonnées (1/2, √3/2). Donc cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. Pour x = π (180°), on a M(-1, 0), donc cos(π) = -1 et sin(π) = 0.
Pense au cercle ! Si tu visualises le point M tournant sur le cercle, tu peux deviner le signe (positif/négatif) du cosinus et du sinus selon la position de M.
22. Courbes représentatives et propriétés fondamentales
La courbe de la fonction sinus est une 'onde' qui passe par l'origine. Celle du cosinus est la même courbe, mais décalée vers la gauche. Leur forme s'appelle une sinusoïde. La propriété la plus importante est la périodicité : ces motifs se répètent à l'identique. La période est 2π, ce qui signifie que sin(x + 2π) = sin(x) pour tout x. Autre propriété : la fonction sinus est impaire (sa courbe est symétrique par rapport à l'origine) tandis que le cosinus est pair (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
Comme sin(π/6) = 1/2 et que la période est 2π, alors sin(π/6 + 2π) = sin(13π/6) = 1/2 aussi. Grâce à l'imparité, sin(-π/6) = -sin(π/6) = -1/2.
Pour tracer la courbe sur un intervalle type [-2π, 2π], apprends par cœur le motif de base sur [0, 2π] et reproduis-le en utilisant la périodicité et les symétries.
33. Valeurs remarquables et variations
Il est crucial de connaître les valeurs de sinus et cosinus pour certains angles. Tu dois les savoir pour x = 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et leurs multiples. Sur l'intervalle [0, π/2], la fonction sinus est croissante de 0 à 1, et le cosinus est décroissante de 1 à 0. Connaître les variations sur [0, π/2] et utiliser les symétries te permet de déduire les variations sur tout ℝ.
Tableau des valeurs : cos(π/4)= sin(π/4)= √2/2 ; sin(π/2)=1, cos(π/2)=0. Sur [π/2, π], le sinus reste positif mais décroît de 1 à 0 (symétrie par rapport à π/2), tandis que le cosinus devient négatif.
Fais-toi un tableau récapitulatif avec les angles en radians et en degrés, et les valeurs de cos et sin. Utilise le cercle trigonométrique pour le reconstruire, pas seulement pour l'apprendre par cœur.
44. Résoudre cos(x) = a et sin(x) = a
Résoudre cos(x) = a, c'est trouver tous les réels x dont l'image par la fonction cosinus vaut a. Il y a des solutions seulement si a est entre -1 et 1. Grâce à la périodicité, si tu trouves une solution x0, alors x0 + 2kπ (avec k entier) sera aussi solution. Surtout, sur le cercle, si une solution existe, il y en a généralement une autre par symétrie. On utilise l'outil arccos (noté parfois cos⁻¹ sur la calculatrice) pour trouver une solution de référence.
Résoudre cos(x) = 1/2. Une solution est x0 = π/3 (ou 60°). Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'autre solution sur [0, 2π] est x1 = -π/3 qui s'écrit aussi 5π/3 sur [0, 2π]. Les solutions générales sont donc : x = π/3 + 2kπ OU x = -π/3 + 2kπ (avec k ∈ ℤ).
Dessine systématiquement le cercle trigonométrique et place la droite verticale x=a (pour cos) ou horizontale y=a (pour sin). Les points d'intersection te donnent visuellement toutes les solutions sur un tour.
55. Dérivée et étude de fonction
Une propriété remarquable (que tu admets pour l'instant) est que la fonction sinus est dérivable sur ℝ et que sa dérivée est la fonction cosinus. Réciproquement, la dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus. Cela te permet d'étudier les variations d'une fonction qui contient du sin ou du cos, et de trouver des tangentes. La pente de la tangente à la courbe sinus en un point est égale au cosinus en ce point.
Soit f(x) = sin(x). f'(x) = cos(x). Pour étudier les variations de f sur [0, 2π], on étudie le signe de cos(x). f est croissante quand cos(x) > 0, c'est-à-dire sur [0, π/2] U [3π/2, 2π]. L'équation de la tangente à la courbe en x=π/6 est : y = sin(π/6) + cos(π/6)(x - π/6) = 1/2 + (√3/2)(x - π/6).
Pour retenir quelle fonction se dérive en laquelle, pense à la cohérence : la dérivée de sin (qui vaut 0 en 0) est cos (qui vaut 1 en 0). La dérivée de cos (qui vaut 1 en 0) est -sin (qui vaut 0 en 0).