Ce chapitre est un pont entre l'algèbre et la géométrie que tu connais. En Seconde, tu vas apprendre à placer des points sur un repère, à calculer des distances et à trouver le milieu d'un segment, le tout avec des formules. C'est la base pour tout ce qui va suivre, comme les équations de droites.
Objectifs du chapitre
- •Placer des points et lire leurs coordonnées dans un repère du plan
- •Calculer la distance entre deux points à l'aide de leurs coordonnées
- •Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment
1Le repère du plan : ton terrain de jeu
Pour faire de la géométrie analytique, tu as besoin d'une grille de référence : le repère. Il est formé de deux droites graduées qui se coupent à angle droit : l'axe des abscisses (horizontal, souvent noté x) et l'axe des ordonnées (vertical, souvent noté y). Le point où ils se coupent s'appelle l'origine, noté O. Chaque point du plan est alors repéré par un couple unique de nombres : son abscisse (sa position horizontale par rapport à O) et son ordonnée (sa position verticale). On note ce point M(xM ; yM).
Pour placer le point A(2 ; 3), tu pars de l'origine O. Tu avances de 2 unités vers la droite sur l'axe des abscisses, puis tu montes de 3 unités parallèlement à l'axe des ordonnées. Tu places ton point à cette intersection imaginaire. Le point B(-1 ; 2) se place à 1 unité à gauche de O, puis 2 unités vers le haut.
Pense à la phrase 'Abscisse en premier, comme l'ordre alphabétique : A avant O'. C'est toujours (x ; y). Pour te déplacer, c'est comme dans un jeu vidéo : gauche/droite d'abord, puis haut/bas.
2Calculer la distance entre deux points
Maintenant que tes points ont des coordonnées, tu peux calculer la longueur du segment qui les relie sans utiliser ta règle ! Imagine un segment [AB]. Si tu traces les projetés de A et B sur les axes, tu formes un triangle rectangle. La distance AB est l'hypoténuse de ce triangle. Les côtés de l'angle droit mesurent la différence des abscisses et la différence des ordonnées. Il ne te reste plus qu'à appliquer le théorème de Pythagore.
Soit A(1 ; 2) et B(4 ; 6). La différence des abscisses est 4 - 1 = 3. La différence des ordonnées est 6 - 2 = 4. Le triangle rectangle a donc pour côtés 3 et 4. Par Pythagore : AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Donc AB = √25 = 5. La distance AB est de 5 unités.
Pour la différence (xB - xA), l'ordre n'a pas d'importance car on met au carré. Mais choisis un ordre et garde-le pour les deux différences ! Vérifie toujours que ton résultat est positif (une distance est toujours positive).
3Trouver le milieu d'un segment
Le milieu I d'un segment [AB] est le point qui coupe ce segment en deux parts égales. Ses coordonnées sont tout simplement la moyenne des coordonnées de A et de B. C'est logique : il est à mi-chemin horizontalement et à mi-chemin verticalement. Cette formule est très utile pour trouver le centre d'une figure ou prouver qu'un point est un milieu.
Reprenons A(1 ; 2) et B(4 ; 6). L'abscisse du milieu I est (1 + 4)/2 = 5/2 = 2,5. Son ordonnée est (2 + 6)/2 = 8/2 = 4. Donc I a pour coordonnées (2,5 ; 4). Tu peux vérifier sur un dessin que ce point est bien au centre du segment [AB].
Pense à 'Moyenne pour le Milieu'. C'est la seule formule où tu additionnes les coordonnées, tu ne les soustrais pas. N'oublie pas de diviser par 2 !
4Vérifier qu'un triangle est rectangle
Avec les distances, tu peux vérifier des propriétés géométriques. Pour montrer qu'un triangle ABC est rectangle en A, tu dois vérifier que la relation de Pythagore est vraie pour le côté [BC] (l'hypoténuse) : BC² = AB² + AC². Tu calcules donc les trois longueurs AB, AC et BC à l'aide de la formule de distance, puis tu vérifies l'égalité. Si elle est vraie, le triangle est rectangle en A.
Soit A(1 ; 1), B(4 ; 1) et C(1 ; 5). Calculons : AB = √[(4-1)²+(1-1)²] = √(9+0)=3. AC = √[(1-1)²+(5-1)²] = √(0+16)=4. BC = √[(1-4)²+(5-1)²] = √(9+16)=√25=5. On a bien BC² = 25 et AB²+AC² = 9+16 = 25. Donc BC² = AB² + AC². Le triangle ABC est rectangle en A.
Identifie bien le plus grand côté, c'est lui qui doit être l'hypoténuse. Fais un croquis rapide pour visualiser quel angle pourrait être droit.
5Un dernier outil : les coordonnées d'un vecteur
Un vecteur, c'est comme une flèche qui indique un déplacement. Pour le définir, on donne simplement de combien on se déplace horizontalement et verticalement pour aller de son point de départ à son point d'arrivée. Ces deux nombres sont les coordonnées du vecteur. C'est un concept nouveau en Seconde qui sera fondamental pour la suite.
Pour aller du point A(1 ; 2) au point B(4 ; 6), tu te déplaces de +3 en abscisse (car 4-1=3) et de +4 en ordonnée (car 6-2=4). On dit que les coordonnées du vecteur AB sont (3 ; 4). On note vecteur AB (3 ; 4). Inversement, si on part de C(5 ; 0) et qu'on suit le vecteur (3 ; 4), on arrive au point D(5+3 ; 0+4) = D(8 ; 4).
Les coordonnées d'un vecteur, c'est 'Arrivée moins Départ', dans l'ordre. C'est la même différence que pour le côté du triangle rectangle dans le calcul de distance !