Les fonctions sont partout autour de toi : la distance parcourue en fonction du temps, le prix d'un article en fonction de sa quantité, la température en fonction de l'heure. En Seconde, tu vas apprendre à modéliser ces relations avec un outil mathématique puissant. Ce chapitre est la base de tout ce que tu feras en mathématiques au lycée.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre ce qu'est une fonction et savoir la représenter (par une formule, un tableau ou un graphique)
- •Déterminer l'image d'un nombre par une fonction et retrouver ses antécédents
- •Lire et interpréter la courbe représentative d'une fonction sur un graphique
11. Qu'est-ce qu'une fonction ?
Imagine une machine à calculer un peu magique. Tu lui donnes un nombre (on l'appelle l'antécédent), elle fait un calcul précis selon une règle, et elle te ressort un autre nombre (on l'appelle l'image). Une fonction, c'est exactement ça : une relation qui à chaque nombre d'un ensemble de départ associe un unique nombre dans un ensemble d'arrivée. Le plus souvent, on note cette fonction f, et on écrit f(x) pour désigner l'image du nombre x. L'ensemble des nombres que tu peux mettre dans la machine s'appelle l'ensemble de définition.
La fonction 'prix à payer' pour des pommes vendues à 2€ le kilo. Si je note p la fonction prix, alors p(3) = 6 (pour 3 kilos, je paie 6€). Ici, 3 est l'antécédent, 6 est son image par la fonction p. Tu ne peux pas mettre un nombre négatif dans cette machine (on ne pèse pas -2 kilos), donc l'ensemble de définition est l'ensemble des nombres positifs.
Pour retenir la différence : l'antécédent, c'est ce que tu mets DANS la machine (avant). L'image, c'est ce qui SORT de la machine (après le calcul).
22. Les trois visages d'une fonction
Une fonction peut se présenter de trois façons différentes, et tu dois savoir passer de l'une à l'autre. La première est l'expression algébrique (la formule), comme f(x) = 2x + 1. Elle te permet de calculer n'importe quelle image. La seconde est le tableau de valeurs, où tu listes quelques antécédents et leurs images. La troisième, et souvent la plus parlante, est la représentation graphique. Dans un repère, tu places tous les points de coordonnées (x ; f(x)). L'ensemble de ces points forme la courbe représentative de la fonction, souvent notée C_f.
Prenons la fonction f définie par f(x) = x² - 1. Sa formule est f(x)=x²-1. Un tableau de valeurs pourrait être : pour x = -2, f(x)=3 ; pour x=-1, f(x)=0 ; pour x=0, f(x)=-1, etc. Sa courbe représentative est une parabole. Le point de coordonnées (2 ; 3) appartient à la courbe car f(2)=2²-1=3.
Quand on te demande si un point A(a ; b) appartient à la courbe de f, vérifie toujours si b = f(a). Si c'est égal, le point est sur la courbe. Sinon, il n'y est pas.
33. Images et antécédents graphiquement
Le graphique est un outil super pratique pour lire rapidement des informations sur une fonction. Pour trouver l'image d'un nombre a, tu repères l'abscisse a sur l'axe horizontal, tu montes (ou descends) verticalement jusqu'à toucher la courbe, puis tu regardes l'ordonnée du point d'intersection. Pour trouver les antécédents d'un nombre b, c'est l'opération inverse : tu repères b sur l'axe vertical, tu pars horizontalement vers la courbe, et tu notes les abscisses de tous les points d'intersection. Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun !
Sur la courbe de la fonction carré f(x)=x², l'image de 2 est 4. L'image de -2 est aussi 4. À l'inverse, si je cherche les antécédents de 4, je trouve DEUX valeurs : 2 et -2. Si je cherche les antécédents de -1, je n'en trouve aucun (la courbe ne passe jamais à une ordonnée de -1).
Sur ton graphique, trace toujours des pointillés pour bien suivre le chemin : vertical pour trouver une image, horizontal pour trouver des antécédents. Cela évite les erreurs de lecture.
44. Sens de variation : la fonction monte ou elle descend ?
Une fonction n'est pas statique. Sur certains intervalles, quand x augmente, f(x) augmente aussi. On dit qu'elle est croissante. Sur d'autres, quand x augmente, f(x) diminue : elle est décroissante. Savoir décrire ces variations est capital. On résume ça dans un tableau de variations. Il te montre sur quels intervalles la fonction monte ou descend, et quelles sont ses valeurs extrêmes (maximum, minimum) sur l'intervalle étudié.
La fonction f(x) = -x + 3 est décroissante sur tout ℝ : plus x est grand, plus -x+3 est petit. La fonction g(x) = x² est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. En x=0, elle atteint son minimum qui est 0. Son tableau de variations montre cette 'vallée' en 0.
Sur la courbe, pour voir les variations, tu 'suis' la courbe de gauche à droite avec ton doigt. Si ton doigt monte, la fonction est croissante. S'il descend, elle est décroissante. C'est aussi simple que ça !
55. Résoudre graphiquement une équation f(x) = k
On te demande souvent de résoudre l'équation f(x) = 4, par exemple. Graphiquement, cela revient à chercher tous les points de la courbe qui ont pour ordonnée 4. Tu traces donc la droite horizontale d'équation y = 4. Les abscisses des points d'intersection entre cette droite et la courbe C_f sont les solutions de l'équation. C'est une méthode très visuelle qui te donne directement le nombre de solutions et leurs valeurs approximatives.
Pour résoudre f(x) = 1 avec la fonction f(x)=x², tu traces la droite horizontale y=1. Elle coupe la parabole en deux points d'abscisses -1 et 1. Les solutions de l'équation x²=1 sont donc x = -1 et x = 1. Pour résoudre f(x) = -2, la droite y=-2 ne coupe pas la parabole : l'équation x²=-2 n'a pas de solution.
Quand tu résous graphiquement f(x)=k, pense toujours à nommer ta droite : écris bien son équation y=k sur ton dessin. Cela montre au correcteur que tu as bien compris la méthode.