Ce chapitre est la pierre angulaire de ton année de Seconde. Tu vas y consolider et approfondir des notions vues au collège, comme les puissances et les racines carrées, et découvrir de nouveaux ensembles de nombres. Une bonne maîtrise de ce chapitre est essentielle pour aborder sereinement les fonctions, la géométrie et les probabilités.
Objectifs du chapitre
- •Manipuler avec aisance les puissances et les racines carrées dans les calculs.
- •Comprendre la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel.
- •Savoir simplifier et calculer avec des expressions contenant des radicaux (racines carrées).
1Les puissances : rappels et approfondissements
Les puissances sont un langage raccourci pour écrire les multiplications répétées. En Seconde, tu dois être très à l'aise avec leurs propriétés. Par exemple, multiplier deux puissances d'un même nombre, c'est additionner leurs exposants. À l'inverse, diviser deux puissances, c'est soustraire les exposants. Une puissance d'exposant négatif correspond à l'inverse de la puissance positive. Ces règles sont valables pour tous les nombres, pas seulement les entiers !
Pour calculer 2³ × 2⁵, tu additionnes les exposants : 2³⁺⁵ = 2⁸ = 256. Pour 5⁴ / 5², tu soustrais : 5⁴⁻² = 5² = 25. Et 3⁻², c'est l'inverse de 3² : 1/3² = 1/9.
Quand tu hésites, écris la puissance sous forme de multiplication. Par exemple, 2⁻³ = 1/(2×2×2) = 1/8. Cela te permet de vérifier ta règle.
2Nombres rationnels vs nombres irrationnels
Tu connais les fractions : ce sont des nombres rationnels. Un nombre rationnel peut toujours s'écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers (avec b ≠ 0). Cela inclut les nombres décimaux (comme 0,75 = 3/4) et les entiers. Mais tous les nombres ne sont pas rationnels ! Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Son écriture décimale est infinie et n'a pas de période. Le nombre π (pi) en est l'exemple célèbre, mais il y en a d'autres, comme la racine carrée de 2.
5 est rationnel (5/1). 0,3333... = 1/3 est rationnel. En revanche, √2 ≈ 1,41421356... est irrationnel : on ne peut pas l'écrire comme une fraction exacte. L'ensemble des nombres rationnels (Q) et des irrationnels forment ensemble l'ensemble des nombres réels (R).
Pour reconnaître un rationnel, demande-toi : 'Est-ce que je peux l'écrire sous forme de fraction simple ?' Si sa partie décimale se répète à l'infini (comme 12,121212...), c'est forcément un rationnel.
3Les racines carrées : simplification et calcul
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a. En Seconde, tu apprends à simplifier les expressions avec des radicaux (le symbole √). La clé est d'utiliser la propriété √(a×b) = √a × √b (pour a et b positifs). Tu dois chercher à 'faire sortir' du radical le plus grand carré parfait possible. Tu dois aussi savoir additionner ou soustraire des racines carrées, mais attention, ce n'est possible que si elles ont le même radical !
Simplifions √50. On décompose 50 = 25 × 2. Donc √50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2. Pour le calcul : 3√5 + 7√5 = (3+7)√5 = 10√5. Par contre, √3 + √2 reste tel quel, on ne peut pas simplifier plus.
Pour simplifier √n, pense à la liste des carrés parfaits : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64... Trouve le plus grand qui divise n.
4Notation scientifique et ordre de grandeur
La notation scientifique est un outil indispensable pour écrire clairement des nombres très grands ou très petits, notamment en physique-chimie. Un nombre est en notation scientifique quand il est écrit sous la forme a × 10^n, où a est un nombre décimal avec un seul chiffre (non nul) avant la virgule, et n un entier relatif. Cela permet de comparer facilement des nombres et d'estimer rapidement un ordre de grandeur, c'est-à-dire la puissance de 10 la plus proche.
La vitesse de la lumière est d'environ 300 000 000 m/s. En notation scientifique : 3 × 10^8 m/s. La masse d'un électron est 0,000000000000000000000000000911 kg, soit 9,11 × 10^(-31) kg. L'ordre de grandeur de 6,7 × 10^8 est 10^9.
Pour trouver l'exposant n, compte le nombre de décalages de la virgule. Décaler la virgule vers la gauche augmente n, la décaler vers la droite le diminue.