En Terminale, tu vas découvrir une fonction indispensable pour résoudre des équations avec des exponentielles et modéliser des phénomènes réels. Le logarithme népérien, noté ln, est l'outil qui te permet de 'défaire' l'exponentielle. Ce chapitre est fondamental pour la suite de tes études, surtout si tu t'orientes vers les sciences.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre la définition du logarithme népérien comme fonction réciproque de l'exponentielle
- •Maîtriser les propriétés algébriques essentielles pour simplifier et résoudre des équations
- •Étudier les variations et la représentation graphique de la fonction ln
- •Savoir dériver une fonction contenant un logarithme
1Définition et lien avec l'exponentielle
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie uniquement pour les nombres strictement positifs. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Concrètement, cela signifie que si tu prends un nombre x > 0, son logarithme ln(x) est l'unique nombre y tel que e^y = x. Le domaine de définition est donc ]0 ; +∞[. Cette relation de réciprocité est la clé pour comprendre et manipuler le logarithme.
On sait que e² ≈ 7,389. Donc, par définition, ln(7,389) = 2. De même, ln(e^5) = 5. Inversement, si ln(a) = 3, alors a = e³.
Pense au logarithme comme à la question : 'À quelle puissance dois-je élever e pour obtenir ce nombre ?'. Pour ln(1), la question est 'e^? = 1'. La réponse est 0, donc ln(1) = 0.
2Propriétés algébriques fondamentales
Le logarithme transforme les produits en sommes et les quotients en différences. C'est sa propriété la plus puissante pour simplifier des expressions complexes. Il transforme aussi les puissances en multiplications. Ces règles sont directement liées aux propriétés de l'exponentielle. Attention, il n'existe pas de formule simple pour ln(a+b) !
Simplifions ln(8) + ln(5) - ln(10). On a : ln(8) + ln(5) = ln(8×5) = ln(40). Puis ln(40) - ln(10) = ln(40/10) = ln(4). On peut aussi écrire ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2).
Ces formules sont à connaître dans les deux sens ! Elles servent à développer (ln(a²√b) = 2ln(a) + (1/2)ln(b)) ou à condenser (3ln(x) - 2 = ln(x³) - ln(e²) = ln(x³/e²)).
3Étude de la fonction ln : variations et courbe
La fonction ln est strictement croissante sur son ensemble de définition ]0 ; +∞[. Elle prend des valeurs négatives entre 0 et 1, s'annule en 1, et est positive après. Sa croissance est de moins en moins rapide : on dit qu'elle est concave. Sa limite en 0 est -∞ et sa limite en +∞ est +∞, mais elle y tend très lentement. Sa courbe représentative est symétrique à celle de l'exponentielle par rapport à la droite d'équation y=x.
Pour comparer ln(0,5) et ln(2), on utilise la croissance : 0,5 < 2, donc ln(0,5) < ln(2). En effet, ln(0,5) ≈ -0,69 (négatif) et ln(2) ≈ 0,69 (positif).
La dérivée ln'(x)=1/x te confirme que plus x est grand, plus la pente de la tangente est faible : la croissance ralentit. Trace toujours les asymptotes : l'axe des ordonnées (x=0) est asymptote verticale.
4Dérivation des fonctions de la forme ln(u)
Tu vas souvent rencontrer des fonctions composées avec le logarithme. Pour les dériver, tu appliques la formule de la dérivée d'une composée. La dérivée de ln(u(x)) est u'(x) divisé par u(x), à condition que u(x) reste strictement positif sur l'intervalle d'étude. Cette formule est directe et très utile.
Soit f(x) = ln(3x² + 1). Ici, u(x) = 3x²+1 et u'(x) = 6x. Donc, pour tout x réel, f'(x) = (6x) / (3x² + 1).
Avant de dériver, vérifie toujours le domaine de définition ! Pour f(x)=ln(2x-4), il faut 2x-4>0, donc x>2. Ta dérivée n'a de sens que sur ]2 ; +∞[.
5Résolution d'équations et d'inéquations
Grâce à la croissance stricte de la fonction ln, résoudre ln(a) = ln(b) est simple : il faut et il suffit que a = b (toujours avec a>0 et b>0). Pour les inéquations, tu dois faire attention au sens de la croissance : si ln(a) < ln(b), alors a < b. La méthode est souvent de se ramener à une égalité ou inégalité de logarithmes avant d'utiliser ces règles.
Résolvons ln(2x+1) = ln(5). Conditions : 2x+1 > 0, soit x > -0,5. L'équation équivaut alors à 2x+1 = 5, donc x=2. Cette solution est bien > -0,5, elle est valide. Pour ln(x+3) ≥ 0, on a ln(x+3) ≥ ln(1) car ln(1)=0. La croissance donne x+3 ≥ 1, donc x ≥ -2. Il faut aussi x+3>0, soit x>-3. Finalement, x ≥ -2.
N'oublie jamais les conditions d'existence (arguments des ln > 0) avant de 'supprimer' les logarithmes. Fais un tableau récapitulatif des conditions et des solutions trouvées pour être sûr de ne rien oublier.