En Terminale, tu vas découvrir que les fonctions trigonométriques ne se limitent pas à résoudre des triangles. Elles deviennent des outils puissants pour décrire des phénomènes périodiques complexes, des ondes aux oscillations, et demandent une maîtrise approfondie de leur analyse. Prépare-toi à exploiter tout leur potentiel.
Objectifs du chapitre
- •Maîtriser les formules de transformation (addition, duplication) et les utiliser pour résoudre des équations
- •Étudier et dériver les fonctions de la forme x → sin(ax+b) et cos(ax+b)
- •Modéliser des situations concrètes à l'aide de ces fonctions (signal, mouvement cyclique)
1Les formules fondamentales d'addition et de duplication
Pour manipuler des expressions plus complexes, tu as besoin d'outils algébriques solides. Les formules d'addition te permettent de développer sin(a+b) ou cos(a+b). Retiens bien leur forme : le cosinus d'une somme donne 'cos cos - sin sin', tandis que le sinus donne 'sin cos + cos sin'. À partir de là, en posant a = b, on obtient les formules de duplication pour cos(2a) et sin(2a). Ces formules sont indispensables pour simplifier des expressions, intégrer ou résoudre des équations. Ne les apprends pas par cœur sans comprendre leur logique !
Pour calculer cos(π/12), on peut l'écrire comme cos(π/3 - π/4) et appliquer la formule : cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4). Cela donne (1/2)*(√2/2) + (√3/2)*(√2/2) = (√2 + √6)/4.
Un moyen mnémotechnique pour les additions : 'cos est cosinusiste' (il n'aime pas mélanger cos et sin, donc il met des cos ensemble et des sin ensemble, avec un signe moins). 'Sin est sympa' (il mélange cos et sin, avec un signe plus).
2Étude des fonctions de la forme x → sin(ωx+φ) et cos(ωx+φ)
Ces fonctions sont la généralisation des sinus et cosinus classiques. Le paramètre ω (oméga) change la pulsation : il comprime ou dilate la courbe horizontalement. Plus |ω| est grand, plus les oscillations sont rapides. Le paramètre φ (phi) est le déphasage : il décale la courbe horizontalement. Pour étudier ces fonctions, tu dois d'abord déterminer leur période. La période T est donnée par T = 2π / |ω|. Ensuite, pour le tableau de variations, tu résous l'équation ωx+φ = ... pour trouver les bornes d'un motif périodique. La dérivation utilise la formule de la dérivée d'une composée.
Soit f(x) = 3 sin(2x - π/4). Sa période est T = 2π/2 = π. Pour faire le tableau sur [0, π], on pose X = 2x - π/4. Quand X varie de -π/4 à 7π/4, sin(X) fait un cycle complet. Sa dérivée est f'(x) = 3 * cos(2x - π/4) * 2 = 6 cos(2x - π/4).
Pour trouver rapidement les points clés (max, zéros), résous ωx+φ = 0, π/2, π, etc. Cela te donne les valeurs de x correspondantes. Pense à diviser par ω à la fin !
3Résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques
Résoudre sin(u(x)) = k ou cos(u(x)) = k demande de la méthode. D'abord, assure-toi que k est bien entre -1 et 1. Ensuite, trouve une solution particulière α (avec ta calculatrice si besoin). Mais attention, ce n'est pas la seule ! Grâce à la périodicité et aux symétries du cercle, tu dois écrire toutes les solutions. Pour le sinus, elles sont de la forme α + 2kπ et π - α + 2kπ. Pour le cosinus, elles sont α + 2kπ et -α + 2kπ. N'oublie pas de finalement résoudre u(x) = ... pour trouver x. Pour les inéquations, représente les solutions sur le cercle trigonométrique pour visualiser les intervalles où l'inégalité est vraie sur un période, puis généralise par périodicité.
Résoudre √2 sin(2x) = 1. D'abord, sin(2x) = √2/2. Une solution est 2x = π/4. Donc toutes les solutions pour 2x sont : π/4 + 2kπ ET π - π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ. Finalement, x = π/8 + kπ et x = 3π/8 + kπ, avec k entier.
Dessine systématiquement le cercle ! Pour sin(θ)=k, trace la ligne horizontale d'ordonnée k. Pour cos(θ)=k, trace la ligne verticale d'abscisse k. Les points d'intersection te donnent les solutions de base.
4Modélisation : des fonctions au service du concret
C'est là que tu vois l'utilité de tout ça. Une fonction de la forme A sin(ωt+φ) + B peut modéliser une quantité qui oscille de manière régulière autour d'une valeur moyenne B. A est l'amplitude (l'écart maximal par rapport à la moyenne), ω la pulsation (liée à la fréquence), et φ le déphasage (le 'décalage' initial). On rencontre cela en physique pour un ressort, un circuit électrique, ou encore le niveau de lumière au cours d'une journée. Ton travail est d'identifier ces paramètres à partir d'un énoncé, ou inversement, de décrire un phénomène à partir de l'expression de la fonction.
La hauteur h(t) de la marée (en m) dans un port est modélisée par h(t) = 2.5 sin(π/6 * t) + 5, avec t en heures après minuit. La valeur moyenne est 5m, l'amplitude est 2.5m (donc la marée varie entre 2.5m et 7.5m). La période est T = 2π / (π/6) = 12 heures. C'est bien un cycle de marée semi-diurne.
Pour trouver φ, repère la valeur à l'instant t=0. Si f(0) = A sin(φ) + B, tu peux en déduire sin(φ) et donc φ (attention aux multiples solutions, choisis celle qui correspond au contexte).