En Terminale, tu vas passer du monde des dérivées, que tu maîtrises maintenant, à son pendant inverse : les primitives. Ce chapitre est fondamental car il te donne les outils pour calculer des aires sous les courbes, modéliser des quantités cumulées et résoudre des équations différentielles simples.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre la notion de primitive comme fonction 'inverse' de la dérivée
- •Savoir calculer l'intégrale d'une fonction continue et l'interpréter comme une aire
- •Maîtriser les techniques de base pour trouver des primitives de fonctions usuelles
11. La primitive : l'opération inverse de la dérivation
Si la dérivation te donne la pente d'une courbe, la primitive te permet de 'remonter' à la fonction d'origine. On dit qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f sur un intervalle I si, pour tout x dans I, F'(x) = f(x). Attention, il n'y a pas qu'une seule primitive ! Si F est une primitive de f, alors F + C (où C est une constante) l'est aussi. Toutes les primitives d'une fonction diffèrent donc d'une constante. Pour en sélectionner une en particulier, on a besoin d'une condition initiale, comme la valeur de la primitive en un point.
Soit f(x) = 2x. Une primitive de f est F(x) = x² car F'(x)=2x. Mais G(x)= x² + 5 est aussi une primitive, car G'(x)=2x également. La famille de toutes les primitives est F(x)= x² + C, avec C un nombre réel quelconque.
Pour vérifier que tu as trouvé une bonne primitive, dérive-la ! Si tu retombes sur la fonction de départ, c'est gagné.
22. Les primitives des fonctions de référence à connaître par cœur
Il est essentiel de connaître les primitives des fonctions de base, tout comme tu connais leurs dérivées. Le tableau se construit en lisant un tableau de dérivées 'à l'envers'. N'oublie surtout pas la constante d'intégration '+ C' à chaque fois, elle est indispensable pour exprimer toutes les primitives possibles. Pour les fonctions plus complexes, on utilise souvent des formules qui découlent de la dérivation des fonctions composées.
Pour une fonction puissance (x^n avec n ≠ -1), une primitive est x^(n+1)/(n+1). Par exemple, une primitive de x³ est x⁴/4. Pour 1/x (sur ]0;+∞[), c'est ln(x). Pour la fonction exponentielle, une primitive de e^x est e^x elle-même !
Pense à la dérivée de ln(u) : u'/u. Cela te donne une formule clé : une primitive de u'/u est ln|u| + C. Très utile pour les fractions !
33. L'intégrale : définition comme aire algébrique
L'intégrale d'une fonction continue f de a à b, notée ∫ de a à b f(x) dx, représente l'aire algébrique du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x=a et x=b. 'Algébrique' signifie que l'aire est comptée positivement quand la courbe est au-dessus de l'axe, et négativement quand elle est en dessous. Le théorème fondamental relie intégrale et primitive : si F est une primitive de f, alors ∫ de a à b f(x) dx = F(b) - F(a). Cette valeur s'appelle aussi la variation de la primitive entre a et b.
Calculons ∫ de 1 à 3 (2x) dx. Une primitive de 2x est F(x)=x². Donc ∫ de 1 à 3 (2x) dx = F(3) - F(1) = 3² - 1² = 9 - 1 = 8. C'est l'aire (en unités d'aire) du trapèze sous la droite y=2x entre x=1 et x=3.
La notation [F(x)]_a^b est très pratique pour les calculs. Écris d'abord F(b), puis tu soustrais F(a). Fais attention aux signes !
44. Propriétés de l'intégrale et linéarité
L'intégrale se comporte de manière très logique et linéaire, ce qui simplifie énormément les calculs. L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales. On peut aussi mettre une constante multiplicative en facteur. Une propriété visuelle importante est la relation de Chasles : l'intégrale sur un grand intervalle est la somme des intégrales sur des morceaux. Enfin, intervertir les bornes change le signe de l'intégrale. Ces propriétés sont indispensables pour découper des calculs complexes ou interpréter des aires.
∫ de 1 à 2 (3x² + 1/x) dx = 3∫ de 1 à 2 x² dx + ∫ de 1 à 2 (1/x) dx = 3*[x³/3]_1^2 + [ln|x|]_1^2 = (8 - 1) + (ln2 - ln1) = 7 + ln2.
La relation de Chasles est parfaite pour calculer des intégrales de fonctions définies par morceaux. Découpe l'intervalle en portions où tu connais l'expression de la fonction.
55. Applications concrètes : calculs d'aires et valeur moyenne
Au-delà du calcul, l'intégrale est un outil puissant de modélisation. Pour calculer l'aire entre deux courbes, tu intègres la différence des fonctions (celle qui est au-dessus moins celle qui est en dessous). La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle est la hauteur d'un rectangle qui aurait la même aire que celle sous la courbe. C'est une façon de 'résumer' le comportement de la fonction sur un intervalle en un seul nombre représentatif.
Pour l'aire entre les courbes y=x² et y=x sur [0;1], on voit que x est au-dessus de x². Donc Aire = ∫ de 0 à 1 (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]_0^1 = (1/2 - 1/3) = 1/6 unités d'aire. La valeur moyenne de cos sur [0;π] est (1/(π-0)) * ∫ de 0 à π cos(x) dx = (1/π)*[sin(x)]_0^π = (1/π)*(0-0)=0.
Pour l'aire entre deux courbes, trace un schéma rapide pour savoir quelle fonction soustraire à l'autre. Si les courbes se croisent, utilise la relation de Chasles pour découper l'intégrale en plusieurs parties.