En Terminale, tu vas passer de l'étude des suites elles-mêmes à la prédiction de leur comportement à long terme. La notion de limite est fondamentale pour comprendre vers quelle valeur une suite se dirige, même si elle ne l'atteint jamais. C'est la clé pour modéliser des phénomènes qui évoluent dans le temps.
Objectifs du chapitre
- •Comprendre et définir intuitivement et formellement la notion de limite d'une suite
- •Maîtriser les théorèmes de comparaison et d'encadrement pour calculer des limites
- •Savoir étudier la convergence des suites monotones et des suites géométriques
1La notion de limite : une approche intuitive
Imagine une suite dont les termes se rapprochent de plus en plus d'un nombre L. Même si tu calcules des termes très éloignés (u₁₀₀₀, u₁₀₀₀₀), ils restent proches de L. On dit alors que la suite converge vers L, et L est sa limite. À l'inverse, une suite peut diverger : ses termes peuvent devenir infiniment grands (tendre vers +∞) ou ne pas se stabiliser vers aucune valeur. La limite, c'est le comportement ultime de la suite, son destin vers lequel elle tend quand n devient très grand.
La suite définie par uₙ = 1/n a ses termes : 1, 0.5, 0.333..., 0.25, 0.2... Ils se rapprochent de plus en plus de 0. Plus n est grand, plus 1/n est proche de 0. On a l'intuition que la limite est 0.
Pour avoir une intuition, calcule quelques termes avec ta calculatrice, mais surtout, représente graphiquement les premiers points (n ; uₙ). Tu verras souvent une tendance se dessiner.
2Les théorèmes majeurs pour trouver une limite
Parfois, tu ne peux pas deviner la limite directement. Des théorèmes puissants te permettent de la déduire. Le théorème des gendarmes (ou d'encadrement) est très utile : si tu réussis à coincer ta suite vₙ entre deux suites aₙ et bₙ qui convergent vers la même limite L, alors vₙ est obligée de converger vers L aussi. Les théorèmes de comparaison pour l'infini sont tout aussi importants : si à partir d'un certain rang, uₙ ≥ vₙ et que vₙ tend vers +∞, alors uₙ aussi. C'est une question de domination à long terme.
Soit wₙ = (sin n) / n. On sait que -1 ≤ sin n ≤ 1. Donc -1/n ≤ wₙ ≤ 1/n. Comme lim(-1/n) = 0 et lim(1/n) = 0, le théorème des gendarmes nous assure que lim(wₙ) = 0.
Pour le théorème des gendarmes, cherche toujours à encadrer ta suite par les termes les plus simples possibles, dont tu connais déjà la limite.
3Convergence des suites monotones : un résultat capital
Ce théorème est un outil formidable pour prouver qu'une limite existe, même si on ne connaît pas sa valeur. Il dit deux choses. Premièrement, si une suite est croissante et majorée (elle ne dépasse pas un certain nombre M), alors elle est convergente. Deuxièmement, si une suite est décroissante et minorée, elle est aussi convergente. La réciproque est vraie : une suite convergente est toujours bornée. Attention, la limite n'est pas forcément le majorant ou le minorant, c'est la borne supérieure ou inférieure des valeurs de la suite.
La suite définie par récurrence u₀=1 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 2). On montre qu'elle est croissante et majorée par 2 (par exemple). Le théorème nous dit alors qu'elle converge vers un réel L ≤ 2. Pour trouver L, on utilise la relation de récurrence à la limite.
Quand on te demande de montrer qu'une suite définie par récurrence converge, pense presque systématiquement à ce plan : 1) Montre qu'elle est monotone. 2) Montre qu'elle est bornée. 3) Conclus par le théorème.
4L'arme fatale : les suites géométriques
Avec les suites géométriques, plus de mystère sur la limite ! Tout dépend de la raison q. Si |q| < 1, la suite converge vers 0. C'est le cas des phénomènes de décroissance exponentielle. Si q = 1, la suite est constante, donc convergente vers son premier terme. Si q > 1, la suite diverge vers +∞ (si le premier terme est positif). Si q ≤ -1, la suite diverge, mais sans limite infinie, elle oscille. Ce résultat est hyper pratique car beaucoup de suites se ramènent, en étudiant la limite, à une suite géométrique via des factorisations.
Pour la suite uₙ = 5 × (0.3)ⁿ. Comme 0 < 0.3 < 1, on a lim (0.3)ⁿ = 0. Donc lim uₙ = 5 × 0 = 0. Pour vₙ = -2 × (1.4)ⁿ, comme 1.4 > 1 et le premier terme négatif, lim vₙ = -∞.
Quand tu as une forme indéterminée du type '∞ × 0', cherche souvent à reconnaître ou à faire apparaître une suite géométrique de raison entre -1 et 1.
5Les pièges à éviter : les formes indéterminées
Tu vas rencontrer des cas où tu ne peux pas conclure directement en regardant les limites de chaque morceau. Ce sont les fameuses formes indéterminées : '∞ - ∞', '0 × ∞', '∞/∞', '1^∞'. Par exemple, si lim(uₙ)=+∞ et lim(vₙ)=+∞, on ne peut pas prévoir lim(uₙ - vₙ). C'est là qu'il faut ruser ! Il faut transformer l'expression : factoriser par le terme dominant, utiliser des quantités conjuguées, ou reconnaître une forme de référence. C'est le cœur du travail technique sur les limites.
Pour uₙ = n² - n. C'est '∞ - ∞'. On factorise par le terme dominant n² : uₙ = n²(1 - 1/n). Comme lim(1 - 1/n)=1, on a uₙ ~ n², donc lim uₙ = +∞.
Face à une F.I., ne panique pas. Ta première action doit être de factoriser par le terme qui croît le plus vite (en puissance de n) au numérateur et au dénominateur.