En Terminale, on quitte le confort du plan pour explorer l'espace à trois dimensions. Ce chapitre est fondamental : il te donne les clés algébriques (vecteurs) et géométriques pour modéliser des situations concrètes, de l'architecture à la physique. C'est plus visuel et plus puissant !
Objectifs du chapitre
- •Manipuler les vecteurs dans l'espace (opérations, colinéarité, repérage).
- •Déterminer et utiliser des représentations paramétriques de droites et des équations de plans.
- •Résoudre des problèmes de positions relatives (droites/droites, droites/plans) et calculer des distances.
11. Vecteurs de l'espace : on étend les bases du plan
Dans l'espace, un vecteur se définit toujours par une direction, un sens et une norme (longueur). On peut les additionner, les multiplier par un réel (scalaire), et ces opérations gardent les mêmes propriétés que dans le plan. La grande nouveauté, c'est qu'il va te falloir trois coordonnées pour repérer un point ou un vecteur dans un repère orthonormé (O, i, j, k). Si A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB), alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA, zB - zA). La norme se calcule avec le théorème de Pythagore 'en 3D' : ||AB|| = √((xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²).
Soit A(1, 0, 2) et B(3, -1, 5). Alors AB a pour coordonnées (3-1, -1-0, 5-2) = (2, -1, 3). Sa norme est ||AB|| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4+1+9)=√14.
Pour additionner deux vecteurs, additionne leurs coordonnées une à une. Pour la colinéarité, c'est comme en 2D : u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
22. Représentation paramétrique d'une droite
Pour décrire une droite dans l'espace, une équation cartésienne ne suffit pas. On utilise une représentation paramétrique. Il te faut : un point A de la droite et un vecteur directeur u (qui donne sa direction). Tout point M de la droite s'écrit alors comme le point A auquel on ajoute un multiple de u. Le paramètre, souvent noté t, parcourt tous les réels. En passant aux coordonnées, cela te donne trois équations (une par coordonnée) qui dépendent de t.
Droite passant par A(1, 2, 0) de vecteur directeur u(2, -1, 3). Une représentation paramétrique est : x = 1 + 2t ; y = 2 - t ; z = 0 + 3t, t ∈ ℝ. Pour t=0, on retrouve A. Pour t=1, on a le point (3, 1, 3).
Un vecteur directeur n'est pas unique ! Tout vecteur non nul colinéaire à u est aussi un vecteur directeur de la même droite. Vérifie toujours qu'il n'est pas nul.
33. Équation cartésienne d'un plan
Contrairement à une droite, un plan dans l'espace peut être défini par une seule équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b, c ne sont pas tous nuls. Le triplet (a, b, c) forme les coordonnées d'un vecteur normal au plan, noté n. Ce vecteur est orthogonal à toute droite contenue dans le plan, donc à tout vecteur directeur du plan. Pour trouver l'équation, tu as deux méthodes principales : à partir d'un point et d'un vecteur normal, ou à partir de trois points non alignés.
Un plan P passant par A(1, -1, 2) et de vecteur normal n(2, 3, -1). Son équation est de la forme 2x + 3y - z + d = 0. On injecte les coordonnées de A pour trouver d : 2*(1) + 3*(-1) - (2) + d = 0 => 2 -3 -2 + d = 0 => d = 3. Donc P a pour équation : 2x + 3y - z + 3 = 0.
Pour vérifier si un point appartient à un plan, remplace ses coordonnées dans l'équation. Si l'égalité est vérifiée, le point est dans le plan.
44. Positions relatives et intersections
C'est ici que tu mobilises tous tes outils. Pour étudier la position de deux droites, tu compares leurs vecteurs directeurs (colinéaires ?) et tu regardes si elles ont un point commun (en résolvant le système de leurs représentations paramétriques). Pour une droite et un plan, tu injectes la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan : tu obtiens une équation en t. Sa solution te donne le point d'intersection, s'il existe. Si l'équation est impossible, la droite est strictement parallèle au plan. Si elle est vraie pour tout t, la droite est incluse dans le plan.
Intersection de la droite D : { x = 1+t ; y = 2t ; z = 3-t } et du plan P : x + y + z - 4 = 0. On substitue : (1+t) + (2t) + (3-t) - 4 = 0 => 1+t+2t+3-t-4=0 => 2t=0 => t=0. On reporte t=0 dans D : le point d'intersection est (1, 0, 3).
Pour deux plans, ils sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit strictement parallèles, soit confondus. S'ils sont sécants, résoudre le système de leurs deux équations te donnera une représentation paramétrique de la droite d'intersection.
55. Distance d'un point à un plan
La distance d'un point A à un plan P est la longueur du segment perpendiculaire [AH], où H est le projeté orthogonal de A sur P. Il existe une formule directe si tu connais l'équation cartésienne de P. Elle fait intervenir la valeur absolue de 'l'équation du plan évaluée en A', divisée par la norme du vecteur normal. Cette formule est à connaître et à savoir appliquer proprement. Elle est très utile dans des problèmes d'optimisation ou de géométrie.
Calculons la distance du point A(1, 2, 3) au plan P : 2x - y + 2z - 5 = 0. Le vecteur normal est n(2, -1, 2). Sa norme est ||n|| = √(4+1+4)=√9=3. On calcule |2*1 -1*2 + 2*3 -5| = |2 -2 +6 -5| = |1| = 1. La distance est donc d(A,P) = 1/3.
Pense à bien calculer la norme du vecteur normal au dénominateur. Si on te demande le projeté orthogonal H, tu peux trouver la droite perpendiculaire à P passant par A (n est un vecteur directeur) puis chercher son intersection avec P.