En Terminale, tu vas découvrir un outil puissant pour modéliser des situations où une même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois de manière identique et indépendante. La loi binomiale est omniprésente, du contrôle qualité en usine aux sondages d'opinion. Ce chapitre te permettra de calculer précisément la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès dans ces répétitions.
Objectifs du chapitre
- •Reconnaître une situation qui suit une loi binomiale à partir de ses caractéristiques.
- •Calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès dans un schéma de Bernoulli.
- •Utiliser ta calculatrice ou Python pour déterminer des probabilités cumulées (au moins, au plus).
- •Déterminer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale dans un contexte concret.
11. Le schéma de Bernoulli, fondement de la binomiale
Avant de parler de loi binomiale, il faut maîtriser le concept de schéma de Bernoulli. Imagine que tu répètes plusieurs fois la même expérience aléatoire, et que pour chaque répétition, tu ne t'intéresses qu'à deux issues : le 'succès' (avec une probabilité p) et l'échec' (avec une probabilité 1-p). On appelle épreuve de Bernoulli une telle expérience. Un schéma de Bernoulli, c'est tout simplement la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. L'indépendance est cruciale : le résultat d'une épreuve ne doit influencer aucun autre.
Tu lances 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Pour chaque lancer, les deux issues sont 'Pile' (succès, p=0.5) et 'Face' (échec, 1-p=0.5). Les lancers sont indépendants. C'est un schéma de Bernoulli de paramètres n=10 et p=0.5.
Pour vérifier l'indépendance, pose-toi la question : est-ce que le résultat du premier tirage/lancer change les probabilités pour le second ? Si la réponse est non, c'est bon. C'est souvent le cas quand on tire avec remise ou qu'on répète une même expérience dans des conditions identiques.
22. Définition et paramètres de la loi binomiale
La loi binomiale formalise le schéma de Bernoulli. Elle compte le nombre total de succès obtenus à l'issue des n répétitions. La variable aléatoire X qui compte ce nombre de succès suit une loi binomiale. Elle est entièrement définie par deux paramètres : n, le nombre total de répétitions (ou d'épreuves), et p, la probabilité de succès à chaque épreuve. On note cela X ~ B(n, p). Les valeurs possibles pour X sont tous les entiers de 0 (aucun succès) à n (que des succès).
Dans un QCM de 20 questions à 4 choix, tu réponds au hasard. Pour chaque question, la probabilité de réussir (succès) est p = 1/4 = 0.25. Si X est le nombre de bonnes réponses sur les 20, alors X suit la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0.25. X peut valoir 0, 1, 2, ..., 20.
Pour retenir les paramètres : n comme 'nombre' d'épreuves, p comme 'probabilité' de succès. C'est l'ordre alphabétique !
33. Calculer P(X = k) : la formule fondamentale
Le cœur du chapitre est de calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès. Il faut combiner deux idées. D'abord, il y a plusieurs chemins pour obtenir k succès : il faut choisir lesquelles des n épreuves seront les succès. Ensuite, pour un chemin précis avec k succès et (n-k) échecs, la probabilité est p^k * (1-p)^(n-k) grâce à l'indépendance. En multipliant le nombre de chemins par la probabilité d'un chemin, on obtient la formule.
Reprenons le QCM (n=20, p=0.25). Quelle est la probabilité d'avoir exactement 5 bonnes réponses (k=5) ? Il faut d'abord calculer le coefficient binomial (choix des 5 questions réussies parmi 20), puis la probabilité d'un tel chemin. Le calcul donne P(X=5) ≈ 0.202. C'est la probabilité la plus élevée autour de la moyenne.
Sur ta calculatrice, la fonction pour calculer P(X=k) est souvent notée 'binompdf(n,p,k)' ou 'binomFdp(n,p,k)'. Apprends à l'utiliser, elle te fera gagner un temps précieux !
44. Calculer P(X ≤ k) et autres probabilités cumulées
Dans la pratique, on s'intéresse rarement à une valeur exacte. On veut plutôt savoir : 'quelle est la probabilité d'avoir au plus 10 succès ?' (P(X ≤ 10)) ou 'au moins 5 succès ?' (P(X ≥ 5)). Ce sont des probabilités cumulées. Pour les calculer, il faut additionner les probabilités de toutes les valeurs de X qui vérifient la condition. Heureusement, ta calculatrice ou Python le font directement avec une fonction dédiée.
Toujours avec le QCM (B(20, 0.25)). Quelle est la probabilité d'avoir la moyenne (au moins 10/20) ? Cela correspond à P(X ≥ 10). C'est plus simple de calculer l'événement contraire : 1 - P(X ≤ 9). En utilisant la fonction 'binomcdf' sur la calculatrice, on trouve P(X ≤ 9) ≈ 0.986. Donc P(X ≥ 10) ≈ 0.014. C'est très faible, ce qui est logique en répondant au hasard !
Sur calculatrice, la fonction pour P(X ≤ k) est 'binomcdf(n,p,k)' ou 'binomFrèp(n,p,k)'. C'est ton meilleur ami pour les exercices. Pour P(X ≥ k), pense toujours à passer par l'événement contraire : 1 - P(X ≤ k-1).
55. Espérance et fluctuation d'une variable binomiale
Comme toute variable aléatoire, une loi binomiale a une espérance (sa valeur moyenne théorique) et une variance (qui mesure l'écart à cette moyenne). La formule de l'espérance est très intuitive : si tu répètes n fois une expérience où la probabilité de succès est p, le nombre moyen de succès que tu peux espérer est tout simplement n*p. La variance, quant à elle, vaut n*p*(1-p). L'écart-type, sa racine carrée, te donne une idée de la dispersion typique du nombre de succès autour de la moyenne.
Pour notre QCM B(20, 0.25), l'espérance est E(X) = 20 * 0.25 = 5. En répondant au hasard, tu peux 'espérer' en moyenne 5 bonnes réponses sur 20. La variance est 20*0.25*0.75 = 3.75, et l'écart-type σ ≈ 1.94. Cela signifie qu'en général, le nombre de bonnes réponses va fluctuer autour de 5, à plus ou moins 2 environ.
L'espérance n*p est un résultat à connaître par cœur. C'est souvent le premier réflexe à avoir face à une loi binomiale : calculer sa moyenne théorique pour interpréter la situation.